O pewnym stosunku między matematyką i filozofią
w świetle twierdzenia o nierozstrzygalności arytmetyki

                                                   §A

A1. Zgódźmy się, że jeśli konstruktor opisze swój wynalazek (np. silnik
spalinowy) za pomocą pełnej listy twierdzeń, to potrafi na tej podstawie
rozwiązać każdy dotyczący go problem (wysunięty przez urząd patentowy,
powstały w toku funkcjonowania silnika itd.)

A2. Zatem [uszczegółowienie w A1], jeśli dziedzina zaksjomatyzowanej i
sformalizowanej arytmetyki liczb naturalnych, zwanej dalej (krótko)
arytmetyką, jest wynalazkiem umysłu (ludzkiego), to każdy problem
arytmetyczny jest dla umysłu rozstrzygalny.

     Na dziedzinę arytmetyki składają się liczby naturalne oraz zachodzące
     między nimi relacje (=, <, > etc.), w tym relacje będące funkcjami
     (następstwo, dodawanie etc.) 

A3. Zatem [transpozycja w A2], jeśli [A3/p] nie każdy problem w arytmetyce
jest rozstrzygalny, to [A3/n] nie jest ona wynalazkiem umysłu.

A4. Jeśli jakiś obiekt nie jest wynalazkiem, a jest przy tym opisany za
pomocą samych zdań prawdziwych, to ten opis jest zapisem odkrycia jakiejś
istniejącej obiektywnie rzeczywistości.

A5. [twierdzenie Gödla = A3/p]: MIE KAŻDY PROBLEM W ARYTMETYCE JEST
ROZSTRZYGALNY.

A6. Zatem [odrywanie z A3 i A5], arytmetyka nie jest wynalazkiem umysłu. 

A6. Zatem [uszczegółowienie w A4, potem odrywanie z A4 i A6], arytmetyka
jest opisem istniejącej obiektywnie rzeczywistości, c.b.d.o.
   
Pogląd A6 określa się umownie jako platonizm (w filozofii matematyki) ze
względu na to, że Platon, podobnie jak Pitagoras, żywił przekonanie o
obiektywnym istnieniu liczb; nie znaczy to jednak że współczesne pojmowanie
liczby pokrywa się z platońskim. 

Zaliczenie poglądu A6 do filozofii jest uzasadnione min. przez to, że
pozostaje doń w silnej opozycji kilka kierunków niewątpliwie filozoficznych,
a jeśli negacja jakiegoś poglądu należy do filozofii, to należy też pogląd
negowany. Atakują platonizm materialiści, radykalni empiryści,
konwencjonaliści, pozytywiści, nominaliści, formaliści etc. Przykładowo
podaję argument radykalnego materializmu, zwanego somatyzmem (gr. soma =
ciało), autorstwa Tadeusza Kotarbińskiego: "istnieją tylko trójwymiarowe
ciała, liczby nie są trójwymiarowymi ciałami, a więc liczby nie istnieją".

Wniosek z tej analizy jest taki, że istnieją wyniki naukowe, w tym przypadku
A5, nadające się na argumenty na rzecz pewnych poglądów filozoficznych, w
tym przypadku - platonizmu.


                     §B [uzasadnienie dla A5] 

B1. [definicja rozstrzygalności] Rozstrzygnięcie w arytmetyce problemu "czy
jest tak, że F" (gdzie F jest formułą opisującą jakiś fakt matematyczny)
polega na przeprowadzeniu dowodu formuły F lub dowodu jej negacji (non-F).
Zdanie mające dowód, aktualnie lub potencjalnie, nazywa się dowodliwym. To
znaczy, w arytmetyce dowodliwość F albo non-F (lecz nie obu naraz) jest
warunkiem koniecznym i wystarczającym rozstrzygalności problemu "czy F?",
czyli jest kryterium rozstrzygalności.

    Dowód oznacza tu procedurę algorytmiczną - w tym sensie, że jego
    poprawność, teoretycznie rzecz biorąc (czyli abstrahując od ewentualnych
    praktycznych trudności), może być sprawdzona przez komputer. Idea
    komputera istniała w logice (nim powstały komputery jako urządzenia
    fizyczne) pod pojęciem systemu sformalizowanego. To jest takiego, że
    każdy krok w dowodzeniu lub obliczaniu jest uprawomocniony przez reguły
    przekształcania wyrażeń dotyczące jedynie ich kształtu i położenia czyli
    postaci fizycznej. Pozwala to na kontrolę poprawności dowodzenia
    czynioną za pomocą samych operacji fizycznych. Komputer jest zdolny
    tylko do fizycznych. Ludzki zaś rachmistrz lub "dowodziciel" (ang. 
    prover) czyni to wtedy, gdy trzeba skontrolować poprawność rozumowań
    intuicyjnych, którym przydarza się zawodność. Dramatyczny w dziejach
    nauki przypadek takiej zawodności miał miejsce, gdy w początkowym
    stadium teorii mnogości, mającej min. służyć ugruntowaniu arytmetyki,
    wyszło na jaw, że pewne nieostrożności w intuicyjnym posługiwaniu się
    pojęciem zbioru prowadzą tę teorię do sprzeczności. Dla zabezpieczenia
    się przed nimi zrodził się postulat algorytmizacji arytmetyki wysunięty
    przez Davida Hilberta jako jedno z wielkich zadań dla matematyki XX
    wieku (ogłoszony po raz pierwszy na światowym kongresie matematyków w
    Paryżu w roku 1900).

B2. Istnieje prawdziwe zdanie arytmetyczne, nazwijmy je G (od Gödla jako
odkrywcy tego faktu), twierdzące o sobie samym, że nie jest dowodliwe w
jakimkolwiek zaksjomatyzowanym i sformalizowanym systemie arytmetyki.

B3. Zatem [wniosek z B2] mówi o sobie, że jest niedowodliwe, a jest
prawdziwe, to istotnie jest niedowodliwe.

B4. Aksjomaty arytmetyki są prawdziwe, a ich zbiór jest niesprzeczny. 

B5. Zatem [wniosek z B2 i B4], zdanie non-G (tj. "G jest dowodliwe") 
jest sprzeczne ze zdaniem o własnej niedowodliwości, które
jest prawdziwe, a będąc sprzeczne ze zdaniem prawdziwym, musi być fałszywe.
Zaś jako fałszywe nie może być dowodliwe z prawdziwych i niesprzecznych
aksjomatów (zob. b4). Jest więc non-G zdaniem niedowodliwym.

B6. Zatem [wniosek z B3 i B5], skoro G i non-G są niedowodliwe, problem "czy
G?" jest w arytmetyce nierozstrzygalny. Nie każdy więc problem arytmetyczny
jest rozstrzygalny, c.b.d.o.

                   §C [uzasadnienie dla B2] 

Konstrukcja zdania G, z której wynika jego prawdziwość

[kodowanie jako strategia badawcza] Zdanie G ma należeć do arytmetyki, a
więc stwierdza coś o liczbach. Ale występujące w nim pojęcie dowodliwości
nie należy do języka arytmetyki, jego sens jest określony tylko w języku
logiki. Istotą przyjętej przez Gödla procedury jest stworzenie klucza
kodowego, który pozwoli kodować formuły logiczne a arytmetycznych; kodowanie
jest rodzajem przekładu, a więc jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane (tu - z
języka logiki), to prawdziwe jest też kodujące (w języku arytmetyki).
Ta strategia kodowania obejmuje trzy kroki: 

I) W pierwszym kroku mamy rozumowanie w języku naturalnym logiki operujące
zdaniem, które po przekształceniach przybierze formę arytmetycznego zdania;
formę potoczna oznaczymy przez G** (opuszczanie gwiazdek oznacza kolejne
przekształcenia).

II) Ponieważ G**, należąc do języka naturalnego, nie operującego symbolami
lecz środkami fonetycznymi, nie daje się ono wprost zakodować w symbolach
arytmetycznych. Pośredniczy w tym język logiki symbolicznej; zdanie G**
zapisujemy w nim w postaci oznaczonej przez G*. 
 
III) Stosując sporządzony do tego celu klucz kodowy, przekształcamy G* w G,
czyli zdanie sformułowane w języku arytmetyki.

C1. [krok I]:  Zdanie G** ma postać: NINIEJSZE ZDANIE NIE JEST DOWODLIWE;
termin "dowodliwe" jest tu skrótem powiedzenia "dowodliwe za pomocą
procedury algorytmicznej z aksjomatów sformalizowanego systemu arytmetyki".
G** musi być prawdziwe, bo gdyby przyjąć jego zaprzeczenie, tj. non-G**
(czyli opuszczając w G** słówko przeczące), to by znaczyło, że jego
niedowodliwość jest dowodliwa na podstawie prawdziwej aksjomatyki. Musi więc
być prawdą, że jest ono niedowodliwe (bo z prawdy wynika tylko prawda).

C2. [krok II]: Przekładamy G** na G* zastępując słowo "zdanie" symbolem
zmiennym reprezentującym zbiór formuł zdaniowych, np. literą "x", a inną
zmienną, powiedzmy "y" zastosujemy do ciągów formuł, jako że każdy dowód
jest jakimś takim ciągiem. Mamy teraz środki, żeby powiedzieć: istnieje
takie zdanie x, że żaden ciąg formuł (danego języka) y nie jest jego
dowodem. W symbolicznym języku logiki każde ze słów "istnieje", "żaden" i
"nie" jest oddane pojedynczym symbolem, jakby jedną obrazkową literą, w
odróżnieniu od ich wieloliterowych fonetycznych odpowiedników w języku
polskim. Ta różnica graficzna ma decydujące znaczenie dla techniki kodowania
arytmetycznego: teraz każdy z tych pojedynczych symboli logicznych przełożymy
na pojedynczą cyfrę kodującą. Pozostał jeszcze do zakodowania zwrot "jest
dowodem". To zadanie o wiele bardziej złożone, trzeba tu niezwykłej
ekwilibrystki środkami logiki symbolicznej. Nie mogąc samodzielnie śledzić
tej części postępowania Gödla, mamy jednak powody do pewności, że się to
udało. Rozumowanie Gödla, z racji swej kolosalnej doniosłości dla nauki,
zostało przez dziesiątki lat tak starannie przebadane przez luminarzy logiki
matematycznej, że o jego poprawność możemy być spokojni.

C3. [krok III] Kodowanie cyfrowe prowadzące od G* do G dokonuje się w ten
sposób, że między cyframi kodującymi kolejne symbole logiczne umieszcza się
znaki mnożenia, a po obliczeniu tego iloczynu dostajemy pojedynczą cyfrę,
która jest numerem zdania G. Jednocześnie, Gödel konstruuje formułę G w tak
przemyślny sposób, żeby argumentem funkcji będącej arytmetycznym
odpowiednikiem funkcji logicznej "jest dowodem", była ta sama liczba, która
jest numerem zdania G (opis tego zabiegu zajmuje nawet w skrótowych
omówieniach kilka stron, nie sposób więc tu go podać). W ten wielce
pomysłowy sposób zostaje oddane słowo "niniejsze" z G**, które ze względu na
swój okazjonalny charakter (tj. zależny od kontekstu sytuacyjnego) nie może
mieć bezpośredniego odpowiednika w języku matematycznym (nie mającym
kontekstów sytuacyjnych w rodzaju "teraz", "tutaj" etc.). Udało się to
jednak tą drogą, że doprowadza się do tego, iżby liczba, o której się orzeka
w G, była identyczna z numerem zdania G. Zdanie to przeto orzeka o sobie, a
tym, co orzeka jest niedowodliwość (wyrażona za pomocą liczb będących
numerami zwrotu "jest dowodem" i symbolu negacji). 

C4. [podsumowanie] Tak dostajemy zdanie arytmetyczne G będące przekładem
zdania G**, o którego prawdziwości przekonujemy się dzięki rozumowaniu
przeprowadzonemu w języku naturalnym, a którego wynik -- zdanie G** --
w formule G*, następnie zaś G. Ponieważ ta ostatnia jest zdaniem arytmetycznym,
to orzekając o sobie prawdziwie własną niedowodliwość, stanowi argument, że
istnieją niedowodliwe zdania arytmetyczne, czyli że arytmetyka jest
nierozstrzygalna.  

                §D [problem uzasadnienia dla B4]

Szukając tego uzasadnienie, trzeba stawić czoło faktowi, że nie da się
uzasadniać w nieskończoność. Trzeba mieć, by tak rzec, odwagę coś przyjąć za
podstawowe, czyli za aksjomat, na zasadzie intuicji intelektualnej, choć
wiemy że nasze oczywistości bywają zawodne. Standardowe sformułowanie takich
podstawowych intuicji arytmetycznych dał włoski matematyk Giuseppe Peano w
roku 1899. Z różnych jego wariantów podaję tu najzwięźlejszy (za Andrzeja
Grzegorczyka "Zarysem arytmetyki Teoretycznej"), zawarty w trzech
aksjomatach (mowa jest cały czas o liczbach naturalnych).

(1) Zero nie jest następnikiem żadnej liczby.
(2) Dwie liczby mające równe następniki są równe.
(3) [aksjomat indukcji] Jeżeli zero ma własność W, a przy tym jest tak, że
jeśli jakaś liczba ma tę własność, to ma ją także jej następnik, to każda
liczba ma własność W.
 
Czy nie grozi nam, że któregoś dnia aksjomaty te okażą się między sobą
sprzeczne? Żeby się przed tym zabezpieczyć postulowano za Dawidem Hilbertem,
żeby stworzyć algorytmiczną procedurę (nie wychodząca poza środki ekspresji
samej arytmetyki z logiką), która wykazałaby niesprzeczność, ale w wyniku
badań Gödla i Tarskiego, to okazało się to niemożliwe. Nikt jednak nie wątpi
w niesprzeczność arytmetyki, bo skoro ludzkość ją praktykuje przez blisko
sto wieków wykonując łącznie każdego dnia jakieś miliardy obliczeń i dotąd
nie napotkano na sprzeczność, to możliwość, że to się kiedykolwiek zdarzy
jest zerowa.