FORUM for Logic, Informatics, Philosophy of Science,

WITOLD MARCISZEWSKI
Dlaczego nie każde rozumowanie
da się zmechanizować?

PRZYPIS. Niniejszy artykuł stanowi fragment badań w projekcie pn. "Badania nad naturalną i sztuczną inteligencją za pomocą automatyzacji rozumowań" wspieranym przez grant KBN (Zespół Automatyki, Elektroniki, Informatyki i Telekomunikacji) nr 8T11C01812.

Szukanie odpowiedzi na tytułowe pytanie jest tu rozpisane na dwa etapy. Jednym z nich jest omówienie wyniku, który jest już obecnie bezdyskusyjny. Jest to dowód, że dla pewnych rozumowań nie ma algorytmów będących warunkiem ich formalizacji; a za niemożnością formalizacji idzie niemożliwość wykonania przez maszynę.
Historia ta jest jednak na tyle mało znana, zarówno wśród filozofów jak i wśród informatyków, że warto pokusić się o jej opowiedzenie w sposób możliwie syntetyczny. Obecna opowieść jest przeglądem i próbą syntezy zdarzeń składających się na proces, którego punkt wyjścia sięga roku 1900, mianowicie postawienia przez Hilberta problemu niesprzeczności arytmetyki, a następnie (1928) problemu rozstrzygalności logiki pierwszego rzędu. Ten etap rozważań ma charakter historyczny, a historia powinna mieć morał. Naszym morałem jest to, że wyniki z lat 1931-1936 wyznaczają jakby drugi początek logiki, będący faktem nie mniej w dziejach myśli przełomowym niż ów pierwszy początek, z roku 1879, wyznaczony ukazaniem się Begriffsschrift Fregego (zob. też Frege 1880 i Frege 1883). Ów przełom polega na skierowaniu badań logicznych w nurt, który przyczynił się istotnie do powstania informatyki, a zarazem przyniósl doniosłe implikacje filozoficzne.
Etap drugi tych rozważań jest dociekaniem filozoficznym na kanwie aktualnego stanu badań znajdującego się na przecięciu logiki z informatyką. Próba odpowiedzi wyraża się tu w hipotezie, że rozumowania nie poddające się mechanizacji czyli intuicyjne, a nie poddające się dlatego, że nie mają reprezentacji w liczbach naturalnych, również mają reprezentację liczbową, ale dla ujęcia symbolicznego niedostępną, ponieważ zachodzi ona w liczbach nieobliczalnych (w sensie zdefiniowanym przez Turinga 1936).
Jest to propozycja tak niekonwencjonalna, że aby uniknąć epatowania nią co bardziej ostrożnych czytelników (zwłaszcza tych z kręgu wiecznie żywego warszawskiego pozytywizmu) nie rozwijam jej w głównym tekście. Dołączam natomiast do niego Aneks referujący pewne domysły matematyków i fizyków co do funkcji nieobliczalnych w przyrodzie. Jeśli spojrzeć na rozumowania jak na procesy mózgowe, a więc część przyrody, nasuwa się pytanie: czy może pewne neuronowe materializacje funkcji konsekwencji należą do sfery nieobliczalności w świecie fizycznym, co by tłumaczyło niemożność ich wykonania przez maszynę cyfrową? Gdy z tego sformułowania skreślimy pytajnik, powstanie pewien pogląd z kategorii takich hipotez filozoficznych, które są w stanie proponować kierunek badań empirycznych i technologicznych (więcej o tym - w Aneksie).

1. Rewolucja naukowa w logice: przezwyciężenie poglądu, że każde rozumowanie da się zmechanizować
1.1. Mówiąc o rozumowaniu będę miał tu zawsze na uwadze rozumowanie dedukcyjne nazywane też, zamiennie, dowodzeniem (bywa, że wymienia się inne niż dowodzenie odmiany dedukcji, ale różnice między nimi nie są natury logicznej lecz pragmatycznej).
Że nie każde rozumowanie da się zmechanizować jest dziś truizmem, ale w swoim czasie rozpowszechniona była wiara w możliwość mechanizacji każdego rozumowania, a przynajmniej takiego, jakim jest dowód matematyczny (por. Marciszewski, Murawski 1995). Mechanizacja rozumowania bowiem to nic innego, jak techniczna realizacja dowodzenia sformalizowanego, na przykład taka, że do zapisu użyjemy nie ołówka ale impulsów elektrycznych, a urządzeniem zapisującym będzie nie ludzka ręka, lecz jakiś proces fizyczny.
Według doktryny obowiązującej w latach dwudziestych w Szkole Hilberta, w Kole Wiedeńskim, czy w kręgu Łukasiewicza, każde rozumowanie (według Łukasiewicza 1936, nawet filozoficzne, byle by w filozofii ,,porządnej'') powinno dać się sformalizować, np. w systemie Principiów, czy w systemie Hilberta i Ackermanna z Grundzüge der theoretischen Logik, 1928. To drugie dzieło, które na równi z Principiami awansowało do klasyki, a dla problemu mechanizacji ma rolę szczególną, będzie w tym tekście określane skrótem: HA-1928.
To, czy każde rozumowanie da się zmechanizować, zależy od tego, czy logika pierwszego rzędu, będąca standardowym narzędziem dowodu, jest teorią rozstrzygalną. A jest rozstrzygalną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje metoda algorytmiczna (inaczej, efektywna) pozwalająca rozstrzygnąć o dowolnej formule, czy jest ona prawem logiki. Logika pierwszego rzędu nie jest rozstrzygalna (Turing 1936, Church 1936b). Istnieją więc formuły, o których się nie dowiemy (stosując metody algorytmiczne), czy są prawami logiki. Jeśli zdarzy się rozumowanie, którego schemat jest określony przez taką formułę nierozstrzygalną, to komputer, któremu się zleci jego wykonanie nigdy się z tego nie wywiąże, ponieważ zakres jego możliwosci (jak to wiemy dzięki Turingowi 1936) jest identyczny z zakresem możliwości maszyny zdolnej jedynie do procedur algorytmicznych.
Pogląd, iż dla każdego twierdzenia logiki istnieje procedura rozstrzygania, który dziś zaliczyłobyby się (gdyby ktoś go wyznawał) do przesądów, był np. przez Wittgensteina uważany za bezsporną zasadę.

Oto uroczyście brzmiące sformułowania w Traktacie (por. Kneale 1962). Jest naszą podstawową zasadą, że każda kwestia dająca się w ogóle rozstrzygnąć przez logikę musi być rozstrzygalna od ręki. (5.551). Dlatego też w logice nie może być nigdy niespodzianek. (6.1251). Czy zdanie należy do logiki można wyliczyć, obliczając logiczne własności symbolu. Robimy to, gdy ,,dowodzimy" jakiejś tezy logicznej. Nie troszcząc się bowiem ani o sens, ani o znaczenie, tworzymy z innych zdań tezę logiczną według reguł, które dotyczą tylko znaków. [...] (6.126). Dowód w logice jest jedynie mechanicznym środkiem pomocniczym dla łatwiejszego rozpoznania tautologii, gdy jest skomplikowana. (6.1262).

Ta sama idea mechanizowalności dowodu przyświecała Leibnizowi, a że nic on nie wiedział o prądzie elektrycznym, przewidywał do tego celu machiny z trybami i dziurkowane blachy (do przepuszczania lub wstrzymywania impulsów mechanicznych). Idei formalizacji bliscy też byli późni scholastycy z kręgu nominalizmu, na których powoływał się Leibniz w swej polemice z antyformalizmem szkoły kartezjańskiej, na przykład gdy od jej wpływów próbował uwolnić młodego Christiana Wolffa (co też mu się udało). Trudniej powiedzieć, na ile ten średniowieczny formalizm korzystał z inspiracji samego Arystotelesa, a na ile był nurtem oryginalnym; jeśli to pierwsze, to prehistoria idei mechanizacji sięgałaby samych początków logiki.
1.2. Na tle tej historii rzecz zaczyna wyglądać tak, że nie tyle program mechanizacji rozumowań miał znamiona rewolucji naukowej, co raczej jego przezwyciężenie, do którego doszło w latach trzydziestych.
Dokonanie tego w sposób najbardziej wyraźny, to jest z użyciem pojęcia maszyny jako istotnego środka argumentacji, jest dziełem Turinga. Choć nie byłoby tego dzieła bez poprzedzających je prac Cantora (1890, metoda dowodu przekątniowego, por MEL ,,Teoria mocy zbiorów"), Skolema (1928), Hilberta (1900, HA-1928) i Gödla (1931), choć kongenialny wynik uzyskał w tymże czasie Church (1936a, 1936b), i choć w dalszym rozwoju bezcenne się okazały metody dowodowe Gentzena (1934), to jednak ze względu na rolę idei maszyny, potwierdzoną przez rozwój informatyki, nazwisko Turinga najlepiej się nadaje na symbol przełomu w dziejach logiki, przełomu przypadającego na rok 1936. Tytuł do takiej roli miałby w pewnym sensie i Post (1936), który opublikował podobną analizę, ale była ona skrótowa i nie miała tak rozległej kontynuacji jak praca Turinga.
Tak czy inaczej, jeśli nawet nie obstawać przy wyborze Turinga na symbol owej rewolucji naukowej, to fakt ukazania się w tym samym roku 1936 trzech niezależnych wzajem od siebie dowodów niemożliwości mechanizacji dowodzenia czyni z tego roku datę przełomową.
2. Nierozstrzygalność logiki
2.1. Problem rozstrzygalności logiki pierwszego rzędu, którą dalej będę nazywał krótko logiką, został postawiony w książce Hilberta i Ackermanna, (HA-1928). Stał się on znany pod niemiecką nazwą Entscheidungsproblem, dalej w skrócie EP. Paragraf 11 w HA-1928, poświęcony tej sprawie kończy się zdaniem: ,,EP trzeba uznać za główny problem logiki matematycznej.'' (Das Entscheidungsproblem muss als das Hauptproblem der mathematischen Logik bezeichnet werden.) Następny zaś paragraf zaczyna się słowami: ,,Podczas gdy w rachunku zdań EP nie był trudny do rozwiązania, znalezienie ogólnej procedury rozstrzygania dla rachunku predykatów stanowi trudne zagadnienie, które dotychczas nie zostało rozwiązane.''
Tak to zostało napisane w roku 1928. Rozwiązanie przyszło w kilka lat potem, wbrew jednak oczekiwaniom Hilberta, jak i złudnej oczywistości Wittgensteina (zob. cytaty w odc. 1.1), jest to rozwiązanie negatywne. Ważnym krokiem w jego kierunku stało się odkrycie przez Gödla, 1931, niepełności reguł wnioskowania dla arytmetyki liczb naturalnych - zwanej odtąd dalej (gdy idzie o system badany przez Gödla), dla krótkości, arytmetyką (w sprawie tego pojęcia niepełności, zob. MEL, hasło "zupełność", punkt 3).
Żeby dostrzec ów związek między nierozstrzygalnością logiki i niepełnością arytmetyki, trzeba na języku arytmetyki dokonać zabiegu, który polega na eliminacji specyficznych dla tego języka symboli funkcyjnych, jak symbole następnika, dodawania czy mnożenia, zastępując je w pewien sposób predykatami. Te predykaty mogą być interpretowane arytmetycznie. Mogą, ale nie muszą. Można nadać tak przeformułowanym aksjomatom również inne interpretacje: takie, przy których okażą się one prawdziwe, jak i takie, które prawdziwości nie zapewnią. Tego rodzaju wyjście poza jedną interpretację, polegające na tym, że symbolom predykatywnym można nadawać różne znaczenia, a poza nimi występują w formułach tylko zmienne indywiduowe i stałe logiczne, przekształca język specyficzny arytmetyki w uniwersalny język logiki predykatów. Podobnie, jak to pokazuje HA-1928 (par.11) w kontekście Entscheidungsproblem, za pomocą podobnego przekładu syntaktycznego można "zuniwersalizować" język geometrii.
Dzięki takiej uniwersalizacji (jak już wspomniano wyżej) zmienne indywiduowe przebiegają zbiór indywiduów z dowolnej dziedziny, symbole zaś predykatywne, wprowadzone zamiast symboli nazwowych czy funkcyjnych, mogą być interpretowane w każdej dziedzinie. Tak otrzymujemy formuły logiki predykatów.
2.2. Oto przykład tego rodzaju operacji dokonanej na pewnym aksjomacie arytmetyki, mianowicie (apostrof jest symbolem następnika, a kropka mnożenia):
[A] x.y'=x.y+x
W języku logiki, posługującym się wyłącznie zmiennymi indywiduowymi i predykatami, powyższa formuła przekłada się na następujące zdanie:
[A*] (x)(y)(t)(u)(v)(w) (P(x,t,u)&N(y,t)&P(x,y,v)&S(v,x,w) -> (u=w))
Zdanie to jest prawdziwe, gdy ,,P'' orzeka o liczbach naturalnych bycie produktem (iloczynem), ,,N'' - bycie następnikiem, zaś ,,S'' - sumą. Przy innych interpretacjach zmiennych indywiduowych i liter predykatowych może ono, oczywiście, okazać się fałszywe, ale pozostanie sensowną formułą logiki predykatów.
Rozważmy teraz zdanie;
[B*] (x)(y)(t)(u)(v)(w) (~(u=w) -> ~(P(x,t,u)&N(y,t)&P(x,y,v)&S(v,x,w)))
Powstaje ono z A* w wyniku przekształcenia według reguły transpozycji. Ta wywodliwość pozwala uznać implikację A*->B* za twierdzenie logiki. Niech litera B oznacza formulę powstającą z B* przez nadanie jej odpowiedniej postaci w pierwotnym języku arytmetyki (podczas gdy A jest pierwotnym arytmetycznym odpowiednikiem formuły A*). To dostarcza odpowiedzi na pytanie, czy B jest twierdzeniem arytmetyki. O tym, że jest świadczy wyprowadzenie B z formuły A, będącej aksjomatem arytmetyki, poprawność zaś tego wyprowadzenia jest zagwarantowana przez prawo logiczne A*->B*.
2.3. Powyższy przykład pozwala unaocznić zależność między rozstrzygalnością logiki i zupełnością arytmetyki. Gdyby logika była rozstrzygalna, to w przypadku dowolnej jej formuły na pytanie, czy jest to prawo logiki dałoby się odpowiedzieć za pomocą jakiejś efektywnej procedury (jak daje się w przypadku A*->B*). Wtedy dowolne zdanie prawdziwe arytmetyki, powiedzmy P, dałoby się dowieść na podstawie koniunkcji K jej aksjomatów oraz implikacji K->P uzyskanej w wyniku przekładu z odpowiedniego prawa logiki (K*->P*). To zaś by wystarczyło do dowodu dowolnej prawdy arytmetycznej. Nie jest jednak tak (wynik Gödla 1931), że każda prawda arytmetyki da się dowieść z jej aksjomatów (niepełność aksjomatycznego systemu arytmetyki). A zatem logika nie jest rozstrzygalna.

Rozumowanie to zakłada, że zdanie K jest prawdziwe, a więc nie jest wewnętrznie sprzeczne, tylko wtedy bowiem wyprowadzenie P z K dowodzi prawdziwości P (nazywa się to, krótko, założeniem o niesprzeczności arytmetyki). Wymaga też komentarza zdanie wyróżnione w poprzednim akapicie kursywą. Trzeba pamiętać o potrzebie odróżniania syntaktycznego pojęcia dowodliwości od sematycznego pojęcia wynikania logicznego (pomylenie zagraża dlatego, że potoczne rozumienie słowa ,,dowód'' nie zawsze pokrywa się z technicznym pojęciem, ograniczonym do syntaktyki). W wyrożnionym zdaniu chodzi, oczywiście, o pojęcie czysto syntaktyczne. Brak tak rozumianego dowodu nie musi przeszkadzać w jakimś intuicyjnym ujęciu wynikania logicznego od K* do P*, co wolno by może nazwać dowodem w szerszym rozumieniu, dopuszczającym także nie-syntaktyczne metody dochodzenia do uznania prawdziwości.

Ten sam wynik negatywny otrzymałoby się, gdyby istniał dowód niepełności jakiejś innej teorii posługującej się w dowodzeniu logiką pierwszego rzędu oraz podobnie zasługującej na założenie o niesprzeczności, jak zasługuje na to arytmetyka. De iure więc arytmetyka nie jest w jakiś sposób wyróżniona w dyskusji nad problemem rozstrzygalności logiki; de facto jednak sprawuje się w tej roli szczególnie dobrze.
I tak dochodzimy do jednego z powodów, dla których nie każde rozumowanie da się zmechanizować. Powodu w tym sensie kluczowego, że ma on sankcję w ścisłych badaniach metamatematycznych (podczas gdy inne, o których dalej, są rozważane tylko w sposób intuicyjny). Mianowicie, program dla maszyny cyfrowej, czyli komputera, jest - mówiąc ogólnie - przekładem pewnego algorytmu na język maszynowy; w pierwszej instancji jest to przekład na taki lub inny język programowania, a ten z kolei podlega przekładowi (robionemu automatycznie przez program translatorski) na wewnętrzny język maszynowy określonego rodzaju komputera.
W interesującym nas przypadku, rolę algorytmu powinna pełnić procedura rozstrzygająca o zgodności rozumowania z prawami logiki. Taką procedurą dysponujemy tylko wtedy, gdy o każdej zastosowanej w tym rozumowaniu formule logicznej potrafimy rozstrzygnąć, czy jest prawem logiki. To, że ten warunek konieczny nie zawsze jest spełniony jest właśnie treścią twierdzenia o nierozstrzygalności logiki. A kiedy nie jest on spełniony, nie jest też spełniony warunek konieczny mechanizacji rozumowania.
Termin ,,rozstrzygalność'' stosowany był tu dotąd w sensie uchwytnym inuicyjnie lecz pozbawionym dokładniejszej analizy, która powinna polegać na wyjaśnieniu, co się rozumie przez termin ,,procedura'' występujący w intuicyjnym określeniu rozstrzygalności. Jak wiadomo, precyzyjne wyjaśnienie znajduje się w kilku różnych lecz między sobą równoważnych teoriach, jak teoria algorytmów, teoria funkcji rekurencyjnych, rachunek lambda, koncepcja maszyny Turinga. Ta ostatnia jest przydatna dla naszego problemu w sposób szczególny. Nie tylko bowiem, jak inne wspomniane teorie, daje ścisłą definicję rozstrzygalności, ale dostarcza też pewnego modelu umysłu, dobrze dającego się zastosować do postawienia problemu zasięgu i granic mechanizowalności rozumowania.
3. Gdy maszyna pracuje bez końca
3.1. Pojęcie nierozstrzygalności zostało sformułowane przez Turinga, 1936, za pomocą konstrukcji, nazwanej przez niego maszyną. Church nadał jej imię maszyny Turinga. Nazwa ta stała się terminem technicznym, kluczowym w systemie pojęć zarówno logiki jak informatyki.
Maszyna taka jest w swej istocie tym samym co algorytm, ale algorytm wyposażony w pamięć oraz - jak mawia się w cybernetyce - receptor i efektor. Receptor czyta symbole na przesuwającej się taśmie, a efektor wpisuje lub wymazuje symbole, stosownie do instrukcji zawartych w algorytmie, a biorących pod uwagę to, co jest rejestrowane przez receptor.
Takie wyposażenie algorytmu w wyimaginowane organy umożliwia precyzyjną definicję samego pojęcia algorytmu, którym posługiwano się przedtem w sposób raczej intuicyjny. Można teraz bowiem proces sterowany algorytmem opisywać w sposób niejako behawiorystyczny, rozkładając go na kroki widzialne z zewnątrz (przesuw taśmy, wpisywanie symboli itp.), a zarazem tak elementarne, niejako atomy postępowania, że prostszych i bardziej uchwytnych już wskazać się nie da.
Ten sposób opisu daje następującą definicję rozstrzygalności. Problem zostaje rozstrzygnięty wtedy, gdy maszyna się zatrzyma, to znaczy wpisze na taśmie odpowiedź, po którym to kroku nie ma już nic do roboty. Może się wydawać, że wprowadzenie terminu ,,zatrzymanie'' nic nowego nie wnosi, skoro zamiast o zatrzymaniu się maszyny można mówić o rozwiązaniu przez nią problemu. Okazuje się jednak, że ten obrazowy sposób mówienia niesie płodne treści teoretyczne. Naprowadza bowiem na powód, dla którego nie dochodzi w pewnych sytuacjach do zatrzymania się maszyny czyli, krócej, stopu.
Jest taką sytuacją to, że maszyna ma zbadać spełnianie pewnego warunku przez nieskończoną liczbę obiektów, w szczególności liczb naturalnych. Brak stopu oznacza, że maszyna nigdy nie natrafi na kontrprzykład. Takim twierdzeniem o braku stopu jest np. hipoteza Goldbacha, że każda liczba parzysta jest sumą dwóch liczb pierwszych; jeśli jest ona prawdziwa, to nigdy maszyna sprawdzająca kolejne liczby parzyste nie napotka na kontrprzykład, a więc nie ustanie w pracy.
3.2.Rozważmy przykładowo, nieco dokładniej, wielkie twierdzenie Fermata:
xⁿ + yⁿ = zⁿ nie ma żadnych rozwiązań całkowitych dodatnich, gdy n jest większe od 2 (zaś x, y, z większe od zera).

Jest to zdanie ogólne, w którym po kwantyfikatorach wiążących x, y, z, n (z ograniczeniem n>2) następuje symbol negacji, a po nim wymieniona formuła. Jeśli to twierdzenie jest prawdziwe, to podstawiając kolejne liczby naturalne nasza maszyna nigdy nie napotka na kontrprzykład (to jest trójkę liczb, która przy danym n okaże się być rozwiązaniem równania). A więc nigdy się nie zatrzyma. Niech ta maszyna służąca do obliczania kolejnych podstawień formuły Fermata będzie określona jako Mn, to znaczy maszyna o jakimś n-tym numerze w nieskończonym ciągu maszyn ponumerowanych poczynając od najmniejszej (np. w tym sensie, że zawiera najmniejszą liczbę symboli).
Tego jednak, że Mn nigdy się nigdy nie zatrzyma, jeśli twierdzenie Fermata jest prawdziwe (nie napotka bowiem kontrprzykładu), wiedzieć nie możemy, skoro ma ona do przebadania nieskończoną liczbę obiektów. Problem doczekałby się rozstrzygnięcia wtedy, gdyby istniała taka uniwersalna w swej funkcji maszyna, która o każdej maszynie potrafiłaby powiedzieć, czy się kiedykolwiek zatrzyma czy też nie. Hilbert żywił nadzieję, że taką maszyną będzie procedura dowodzenia korzystająca z praw logiki (nie używał on samego słowa "maszyna", ale jego idea doskonale się w tych kategoriach wyraża). Istotnie, w pewnych przypadkach dowód skonstruowany przez matematyka (żywego lub elektronicznego) spełnia taką rolę. Oznaczmy taką maszynę symbolem H (na cześć Hilberta).
Przedstawmy sobie na moment, że dowód wielkiego twierdzenia Fermata, który opublikował Andrew Wiles (1995) ma postać dowodu sformalizowanego (co nie nie odpowiada prawdzie, bo przy kolosalnym stopniu skomplikowania cechującym tego rodzaju dowód próba nadania mu postaci sformalizowanej czyniłaby go nieczytelnym). Jego formalizacja stanowiłaby maszynę do wykazania, że maszyna Mn szukająca kontrprzykładów do twierdzenia Fermata nigdy się nie zatrzyma, a to z racji braku kontrprzykładów; to zaś świadczy, że wielkie twierdzenie Fermata jest prawdziwe.
Przypuśćmy, że H jest maszyną, która o każdej maszynie wykonującej już bardzo długo obliczenia potrafi powiedzieć, czy będzie ona rachować w nieskończoność, czy się kiedyś zatrzyma w wyniku znalezienia kontrprzykładu. A dalej: jeśli rachowałaby w nieskończoność, to czy dlatego, że właściwa jej funkcja arytmetyczna nie ma kontrprzykładu, czy też dlatego że maszyna się zapętla, czyli nie potrafi dostarczyć żadnego rozwiązania?
Gdy zachodzi ostatni z wymienionych przypadków, będziemy mówić, że dana maszyna, poddana sprawdzeniu przez H, jest niekonkluzywna (jest to krótsza forma dla zastąpienia frazy ,,nie zatrzymuje się z powodu zapętlenia''). Postawmy teraz maszynie H pytania dotyczące jej samej: czy jest ona konkluzywna? Pytanie to prowadzi do sprzeczności w przypadku odpowiedzi przeczącej: jeśli H da odpowiedź, że nie jest konkluzywna, to dostarczy odpowiedzi czyli konkluzji, a więc okaże się konkluzywna.
A jeśli odpowie, że jest konkluzywna? Nie będzie to wiarogodne, gdyż ktoś, kto na pytanie ,,tak czy nie'' nie może odpowiedzieć ,,nie'' z powodu defektu informacyjnego polegającego na wikłaniu się tej odpowiedzi w jej własną negację, nie będzie wiarogodnym informatorem, jeśli powie ,,tak''. Oto inny przykład na tego rodzaju sytuację. Pewien fryzjer goli tych wszystkich, co sami siebie nie golą. Widząc go ogolonym, pytamy, czy ogolił sam siebie, on zaś temu zaprzecza. Ale skoro nie ogolił siebie, a goli wszystkich, co siebie nie golą, to musiał ogolić sam siebie. To na tyle podważa jego wiarogodność, że cokolwiek by innego powiedział, nie należy temu ufać. Podobnie straci wiarogodność maszyna H, gdyby diagnozując siebie jako niekonkluzywną dostarczyła tym samym konkluzji.
Istnienie takiej maszyny H zdolnej o każdej maszynie rozstrzygać, czy się ona zatrzyma czy nie, implikowałoby rozwiązanie pozytywne problemu rozstrzygalności, czyli rozwiązanie go po myśli Hilberta. Rozwiązanie jest jednak negatywne.
3.3. Nie należy tego rozumieć w ten sposób, że istnieją problemy skazane na to, żeby nigdy nie zostać rozstrzygnięte. Być może, dla każdego problemu da się znależć algorytm rozstrzygania. Rzecz w tym jednak, że nie ma takiego jednego algorytmu nadającego się do wszystkich problemów, którą to funkcję chciał Hilbert przypisać rozumowaniom sformalizowanym w logice pierwszego rzędu. Może zatem zdarzyć się proces rozumowania, o którym maszyna Turinga nie będzie potrafiła rozstrzygnąć, czy jest ono poprawne. W tym sensie, rozumowania takiego nie da się zmechanizować.

Na marginesie niejako tych rozważań powstaje pewien problem psychologiczny. Skoro rozumowanie limitatywne (ograniczające zakres stosowalności procedury dowodowej) jest w istocie tak proste (choć dla sprostania standardom technicznym mocno złożone w swej pełnej postaci), to czemu nie przyszło ono na myśl Wittgensteinowi (por. wyżej, odc. 1) i innym, a zwłaszcza takiemu mistrzowi logiki jak Hilbert?
Nasuwa się tu analogia z innym mistrzem nauki, mianowicie Einsteinem, który tak podzielał z całą poprzedzającą go ludzkością wiarę w niezmienność wszechświata, że choć zaprzeczały temu wnioski z ogólnej teorii względności zmodyfikował teorię dla uniknięcia tych wniosków, nie ważąc się odejść od uświęconego przekonania; dopiero po odkryciu ucieczki galaktyk przez Hubble'a przywrócił teorii jej pierwotną postać.
Podobnie mocna wiara, tym razem gdy idzie o rozwiązywalność każdego sformułowanego poprawnie w nauce problemu, przebija na każdym kroku choćby z pism racjonalistów 17go i 18go wieku, czy z wypowiedzi fizyków 19go wieku. Co się tyczy kwestii rozwiązywalności problemów matematycznych, tak bardzo absorbującej Hilberta, to istniała tu jeszcze szczególna blokada myślowa polegająca na utożsamianiu prawdziwości z dowodliwością, co miało korzenie w pewnej tradycji matematycznej, a zarazem było w czasach Hilberta dogmatem filozoficznym w tak wpływowych kręgach jak Koło Wiedeńskie; rolę Hubble'a odegrali Gödel i Tarski (1933, 1936), atakując skutecznie ,,pewnik'' filozoficzny wynikami naukowymi.

Ta konkluzja w sprawie niemożności jest przez pewien krąg autorów (w tym Posta, zob. [Post 1994]) interpretowana jako argument o wyższości umysłu ludzkiego nad maszyną. Turing jednak, choć walnie się zasłużył dla tej konkluzji limitatywnej, nie sądził, żeby ograniczenia maszyny były w zasadniczy sposób większe niż ograniczenia człowieka. Człowiek, pisał Turing w eseju 1950, gdy uznaje prawdziwość zdania arytmetycznego, której nie potrafi wykazać maszyna, ma poczucie, że nad nią góruje. Skąd jednak ma mieć pewność, że się nie myli uznając owo zdanie za prawdziwe? A jeśli podstaw do takiej pewności nie ma, to pod względem zdolności rozumowania nie ma między maszyną a ludzkim umysłem jakiejś istotnej różnicy.
Dałoby się z tym wywodem Turinga dyskutować, kwestionując go na podstawie założeń filozoficznych, które może by się okazały bardziej przekonujące od filozofii Turinga (gdzieś ukrytej w tle za jego argumentami). Bardziej jednak będzie owocne zastanowienie, jakie wyniki naukowe mogłyby podważyć stanowisko Turinga. Poświęcony temu będzie ostatni odcinek, nawiązujący do danego przez Turinga dowodu istnienia liczb nieobliczalnych oraz do jego związków z problemem mechanizacji rozumowań.
4. Problem rozumowań "poza barierą Turinga"
4.1. Odkrycie liczb nieobliczalnych jest w pojmowaniu świata przewrotem, którego skala da się porównać z odkryciem liczb niewymiernych. Ma też ono głębokie konsekwencje dla koncepcji umysłu i poznania; w tym względzie przewyższa doniosłością nawet odkrycie pitagorejskie.
Jak jednak odkryć coś, a więc nabrać pewności że to coś istnieje, gdy chodzi o klasę obiektów, które ex definitione są niepoznawalne? (Wszak w matematyce poznać, to tyle, co obliczyć.) Umożliwiła to pochodząca od Georga Cantora (1890) metoda wychodzenia poza to, co już znane, zwana argumentacją przekątniową.
Oto zastosowanie tego argumentu przez Turinga (1936). Ponumerował on wszystkie możliwe maszyny w sposób analogiczny do numeracji formuł i dowodów u Gödla. Ważna jednak różnica jest w tym, że nie są to obiekty językowe, lecz dowolne urządzenia do obliczania funkcji. To doniosłe (jak przyznał sam Gödel) uogólnienie było możliwe dzięki temu, że Turing nie używał pojęcia dowodu, które wymaga relatywizacji do aksjomatyki i reguł, a więc do języka; operował on ogólniejszym pojęciem procedury obliczeniowej, które zdefiniował poprzez opis zachowania się maszyny.
Numer maszyny jest jej definicją, kodującą właściwości danej maszyny. Lista numerów tworzy uporządkowany nieskończony zbiór liczb naturalnych. Dzięki temu, że jest to zbiór przeliczalny, żadna maszyna nie jest pominięta; owa kompletność listy jest w rozumowaniu przekątniowym rzeczą istotną.
Umieszczamy ten ciąg w pierwszej kolumnie tabeli. W jej pierwszym wierszu wpisujemy dane liczbowe, które będą podawane każdej z maszyn do przetwarzania; daje to ten sam, co w pierwszej kolumnie, ciąg kolejnych liczb naturalnych (gdy dane stanowią parę, trójkę etc. liczb, to odpowiednia metoda kodowania redukuje je do jednej). Na przecięciach znajdą się wyniki przetworzenia (czyli obliczenia) określonych danych przez określoną maszynę.
Bierzemy teraz pod uwagę wszystkie wyniki ulokowane na przekątnej (stąd nazwa argumentu) naszej tabeli. Po wypisaniu ich w jednym wierszu tworzą one pewien ciąg nieskończony, przeliczalny. Zmieniamy teraz wszystkie wyrazy tego ciągu w systematyczny sposób, np. dodając do każdego jedność. Tak powstaje nowy ciąg, który się różni od wszystkich zapisanych w kolejnych wierszach tabeli. Różni się od ciągu z pierwszego wiersza, bo w tamtym jest na pierwszym miejscu (tj. w pierwszej kolumnie) jakaś liczba n, a tu będzie n+1. Na drugim miejscu różni się od drugiej liczby z wiersza drugiego, na trzecim od trzeciej liczby z wiersza trzeciego itd. Mamy więc nowy zbiór liczb, różny od każdego z figurujących w wierszach tabeli. Ale przecież w tabeli udało się zmieścić wszystkie możliwe maszyny służące do obliczeń! Nowy ciąg przeto, spisany z przekątnej, nie może pochodzić od żadnej z zarejestrowanych na liście maszyn, czyli maszyn produkujących liczby obliczalne. A zatem liczba reprezentowana przez ten ciąg nie należy do obliczalnych.
Aby wykorzystać to odkrycie w dyskusji nad możliwością mechanizacji rozumowań, trzeba wprowadzić pojęcie maszyny uniwersalnej. Odpowiada ono pojęciu komputera, a zarazem jest porównywalne z pojęciem umysłu. Maszyny wymienione na opisanej wyżej liście są wyspecjalizowane w określonych operacjach arytmetycznych. Odpowiadają one formułom będącym zapisami poszczególnych funkcji matematycznych; najprostsza umie, powiedzmy, tylko dodawać jedność do kolejnych liczb naturalnych, jakaś inna potrafi je pierwiastkować, itd. Maszyny z tego zbioru nadają się także do wykonywania operacji, które w pierwotnej postaci nie należą do arytmetyki (np. analiza składniowa, rozumowanie), ale są podatne na ich reprezentowanie przez formuły arytmetyczne.
Skonstruujmy maszynę zaopatrzoną w program potrafiący imitować dowolną z maszyn z naszej listy. Taki ambitny program nie jest mrzonką; mamy go na każdym komputerze za sprawą połączonych sił systemu operacyjnego i innych elementów oprogramowania (translatory itp.), dzięki którym można realizować na jednym komputerze nieprzebraną różnorodność zadań. Maszynę tego rodzaju przyjęło się nazywać uniwersalną maszyną Turinga.
4.2. Po tym przygotowaniu pojęciowym, dochodzimy do sprecyzowania pytania tytułowego, ktore teraz przybierze postać: Czy każde rozumowanie jest wykonalne dla uniwersalnej maszyny Turinga?
Zanim doszliśmy do tego sformułowania, uzyskaliśmy już wcześniej odpowiedź negatywną, wynikającą z nierozstrzygalności logiki. Ale odpowiedź w kategoriach maszyny Turinga oraz obliczalności zdefiniowanej metodą Turinga otwiera nowe perspektywy problemowe, które się nie pojawiają w innej aparaturze pojęciowej. Są natomiast obecne w teorii maszyn Turinga, która dobrze się nadaje na model umysłu czy mózgu; dla większej konkretności, skoncentrujemy się na mózgu.
Dochodzimy więc do pytania: Czy mózg jest uniwersalną maszyną Turinga?
Nie należy oczekiwać, że znajdziemy już zaraz odpowiedź, czy to w informatyce, czy w neurobiologii czy w fizyce. Tym nie mniej, samo jego postawienie jest znaczącym krokiem naprzód, bo pozwala naszkicować plan badawczy, w którym ustalimy, na jakie pytania trzeba dostać wpierw odpowiedź, żeby móc zaatakować zagadnienie naczelne.
Mianowicie, mając pojęcie liczb nieobliczalnych, jesteśmy w stanie sformułować zagadnienie: czy liczby nieobliczalne występują w przyrodzie? A dokładniej: czy pewne wielkości fizyczne, gdyby je scharakteryzować z całkowitą dokładnością, będą wymagać do tej charakterystyki liczb nieobliczalnych? (W Aneksie będą przykłady na to, że nie jest to pytanie czysto spekulatywne, ale że się pojawia w obecnej fizyce).
Jak ma się to zagadnienie do kwestii mechanizowalności rozumowań? Związek zachodzi dzięki temu, że mózg jest układem fizycznym. Jeśli więc w ogóle możliwe są w przyrodzie układy charakteryzowane przez liczby nieobliczalne, to mózg będzie kandydował do tej kategorii (a może nawet będzie w tej konkurencji faworytem, bo tajemniczość fenomenu świadomości prosi się o sięgnięcie do sfer fizyki dotąd nie badanych).
I krok następny: jeśli mózg jest układem charakteryzowanym przez parametry, z których pewne należałyby do liczb nieobliczalnych, to może właśnie one dają mu możność przeprowadzania operacji poznawczych na liczbach nieobliczalnych? Czym innym wprawdzie jest być układem charakteryzowanym przez pewne liczby, a co innego być układem wykonującym operacje na takich liczbach. Można jednak powiązać te aspekty, gdy uwzględni się systemy analogowe. System taki jest urządzeniem, które cechy rozpoznawanego obiektu fizycznego odwzorowuje przybierając samo analogiczne cechy fizyczne (tak czyni telefon, tradycyjny gramofon, fotokomórka, oko czy ucho).
Wsród owych operacji, które dotyczą liczb nieobliczalnych mogą się znaleźć niektóre rozumowania, mianowicie te, które są owocem intuicji, nie poddającej się algorytmizacji. Z racji nieobliczalności, ich wykonanie przekraczałoby możliwości maszyny Turinga. I w tym sensie nie byłyby to operacje mechanizowalne. Bliżej zajmiemy się tą sprawą w Aneksie.
Aneks: Zachęta do burzy mózgów w sprawie nieobliczalności
Ostatnią część tego eseju traktuję jako aneks, bo odbiega ona od przyjętych konwencji pisarstwa naukowego. Jeśli szukać dla niej jakiejś konwencji, to jest to raczej burza mózgów, w której jest się zwolnionym od naukowych rygorów uzasadniania i definiowania. Taki brak zahamowań owocuje czasem pomysłami inspirującymi do myślenia, które w jakiejś późniejszej fazie może aspirować do badania naukowego.
Będę tu próbował określić status epistemologiczny hipotezy, że pewne rozumowania intuicyjne mogą być niepodatne na mechanizację, w sensie ich odtworzenia przez maszynę Turinga, a niepodatne z tego powodu, że nie mają reprezentacji w liczbach obliczalnych. Kto wysuwa taką hipotezę, włącza się z pewną ideą filozoficzną w debatę nad sztuczną inteligencją (por. Marciszewski 1998). Włącza się po stronie tych, którzy odmawiają akcesu do obozu komputacjonistów.
Komputacjonizm, znany też pod nazwą ,,strong AI", jest doktryną głoszącą, że wszystkie procesy umysłowe są odtwarzalne na maszynie Turinga, czyli sterowane algorytmami. Wytworzenie więc inteligencji takiej jak ludzka byłoby tylko kwestią czasu, jaki muszą mieć do dyspozycji programiści, żeby napisać programy na odpowiednim poziomie złożoności.
Dominacja w tej kwestii takiego lub innego poglądu filozoficznego miewa wymierne konsekwencje (nawet finansowe: jeśli np. wyznają komputacjonizm decydenci akademiccy, to komputacjoniści mają większe szanse na granty). Sprawa więc warta jest dyskusji, nawet jeśli jej temat z trudnością się poddaje akademickim rygorom ścisłości. Nim się rozważy takie konsekwencje, przyda się wstępna dokumentacja, mianowicie teksty, w których matematycy lub fizycy wypowiadają domniemania co do tego, czy w świecie fizycznym nie ma innych zależności jak funkcje obliczalne.
Zanim przejdziemy do tej dokumentacji, postawmy problem nawiązując do słynnego zdania gödlowskiego (jego techniczne przedstawienie można znaleźć m.in. u Murawskiego 1994). W swobodnym potocznym sformułowaniu, jest to zdanie mówiące o sobie samym, że nie jest ono dowodliwe w systemie formalnym arytmetyki liczb naturalnych, o ile arytmetyka jest niesprzeczna. Pewni autorzy (np. Mostowski 1948, Penrose w każdej ze swych prac o SI) uważają, że rozumowanie prowadzące do uznania tego zdania za prawdziwe jest koronnym argumentem na rzecz tezy, że pewne rozumowania nie dają się zmechanizować (skoro warunkiem do tego koniecznym jest nadanie dowodowi postaci sformalizowanej). A że owo zdanie, należąc do metamatematyki, dzięki procedurze arytmetyzacji ma odwzorowanie w arytmetyce, dochodzi się do wniosku, że pewne rozumowania arytmetyczne nie są formalizowalne, a więc nie są mechanizowalne w sensie możliwości ich odtworzenia przez maszynę Turinga.
Na to jednak można dać odpowiedź, wysuwaną przez Turinga (1950), a zgodną w wynikami Gödla (1931, 1936) i samego Turinga (1936), że owa niemożność dotyczy określonej maszyny, powiedzmy M-0, tej właśnie, której powierzamy mechanizację wszystkiego, co w arytmetyce da się mechanicznie dowieść. Można jednak skonstruować inną maszynę, M-1, która zadaniu podoła. Przed tą wyrosną znowu niewykonalne zadania mechanizacyjne, ale do ich wykonania można powołać kolejną maszynę, M-2. I tak dalej.
Ów zwrot ,,i tak dalej" trzeba dopełnić powiedzeniem ,,in infinitum" (por. Turing 1939 i komentarz Fefermana 1988 do tej pracy). I tu pojawia się nowy problem. Przypuśćmy, że może zaistnieć maszyna zdolna wykonać każde rozumowanie dzięki temu, że kolejne maszyny Turinga, którym powierzamy rozumowania coraz to wyższego stopnia, dadzą się skonstruować jako jedna maszyna o aktualnie nieskończonej pamięci. Takie przypuszczenie wysuwa np. Tipler (1995), znany amerykański fizyk matematyczny (zob. też Barrow i Tipler 1996). Ale choć da się je rozważać w ramach jakiejś spekulatywnej kosmologii (która uwzględnia dane kosmologii empirycznej lecz na nich nie poprzestaje), to czy da się je zastosować do ludzkiego umysłu? Raczej nie, jeśli możliwości umysłu mierzymy pojemnością pamięci mózgu, która choć kolosalna jest tylko skończona (na pogląd o takiej zależności umysłu od mózgu nie godził sie Gödel, ale to osobny wątek, który rozsadziłby ramy obecnego dyskursu).
W takim razie rację miałby Turing (1950), powiadając, że nie da się wykazać zasadniczej różnicy między umysłem i maszyną. Wprawdzie są problemy, których określona maszyna nie rozwiąże, a rozwiązuje je czyjś umysł (przykładem zdanie gödlowskie) ale ten konkretny umysł ludzki może stanąć przed innym pytaniem, na które już nie odpowie, a podoła mu odpowiednio skonstruowana maszyna, by tak rzec, wyższego rzędu.
Argumentacja Turinga jest nieodparta dopóki się nie przyjmie następującej hipotezy, która w pierwszej fazie jest czysto spekulatywna, ale ma szansę na wejście w testujący kontakt z nauką empiryczną (tego dotyczą podane dalej wypowiedzi matematyków i fizyków). Jest to hipoteza, że (A) liczby nieobliczalne (których matematyczną realność wykazał Turing 1936), są reprezentowane w świecie empirycznym, to znaczy cechują one pewne wielkości fizyczne, a ponadto (B) wśród owych wielkości fizycznych są pewne stany, w tym pewne rozumowania (por. McCulloch, Pitts 1943). Jeśli do tego dodać fakt, że pewne procesy mózgowe mają charakter analogowy (a nie cyfrowy, por. von Neumann 1958), to nasuwa się myśl, że (C) pewne nieobliczalne wielkości w przyrodzie mogą być rozpoznawane, na zasadzie analogowej, przez pewne stany mózgu, charakteryzowane również przez liczby nieobliczalne.
Aby na serio rozważać punkt C, trzeba nadać odpowiednią moc hipotezom A i B. Co do B, istnieje już w tej sprawie pokaźna literatura, obejmująca prace Johna Ecclesa (1992), noblisty w neurobiologii, jak i najświeższe, bardzo już głośne, publikacje Penrose'a; wszystkie one przypisują mózgowi zdolność do pewnych procesów na poziomie kwantowym, które nie mają charakteru algorytmicznego czyli nie są wykonalne dla maszyny Turinga. Jeśli takie procesy rzeczywiście istnieją, to wśród nich mogłyby się znaleźć intuicje intelektualne, a pośród tych z kolei -- intuicyjne rozumowania, jak te, które prowadzą do akceptacji zdania gödlowskiego.
Co do A, to na ile mi wiadomo, wzmianki w tej sprawie są raczej nieliczne i trudne do wyłowienia, toteż na nich trzeba się skoncentrować dla pozyskania owej dokumentacji, o której była mowa na wstępie. Zacznijmy od sformułowania czysto hipotetycznego, które mówi o samej możliwości, bez wskazania na konkretne fakty.
Na możliwość zachodzenia w przyrodzie funkcji nieobliczalnych zwrócił uwagę Andrzej Grzegorczyk (1957, s.46).

,,Badając przyrodę próbuje się zwykle ująć jej zależności za pomocą funkcji obliczalnych, zwykle nawet bardzo prostych. Funkcje przyjmowane na początku okazują się często niedokładne. Być może, że pewnym zależnościom fizycznym odpowiadają dokładnie dopiero pewne funkcje nieobliczalne lub może nawet nie definiowalne za pomocą matematycznych pojęć. Wszelkie matematyczne wzory byłyby wtedy dalekimi przybliżeniami."

Z tym przypuszczeniem wypowiedzianym niejako a priori korespondują nowsze, bardziej już powiązane z fizyką, rozważania brytyjskiego astrofizyka i kosmologa Johna D. Barrow'a (1991, s. 266n). Gdy w poniższych cytatach pojawia się słowo "rachunek" można go zawsze zastąpić słowem ,,algorytm" w sensie zawartym w definicji maszyny Turinga. Oto, co pisze Barrow.

,,Aby móc odkryć, że rachunek jest najbardziej podstawowym aspektem rzeczywistości, musielibyśmy zażądać, by Wszechświat robił tylko rzeczy obliczalne. [...] Odkryliśmy jednak wiele nieobliczalnych operacji matematycznych, a fizycy wiele z nich odnaleźli w obrębie tej części matematyki, której aktualnie wymaga nasze zrozumienie świata fizycznego. W badaniach z zakresu kosmologii kwantowej znaleziono przykłady, gdzie dla wielkości w zasadzie obserwowalnej przewidziano wartość równą nieskończonej sumie zmiennych wielkości, z których każda musi być oszacowana na szczególnego rodzaju powierzchni. Jednakże wyszczególnienie wymaganych powierzchni okazuje się operacją nieobliczalną. Nie może ono zostać sporządzone w skończonej ilości kroków rachunkowych w rodzaju tych określanych przez maszynę Turinga."
,,Specjaliści od komputerów definiują zwykle ostateczną wydolność jakiegokolwiek komputera, realnego czy wyimaginowanego, jako wydolność wyidealizowanej maszyny Turinga. Faktycznie wydolność takiej maszyny definiuje to, co rozumiemy przez hasło ,,obliczalny". Jednak w ostatnich latach stało się jasne, iż można wymyślić komputery, których natura jest zasadniczo kwantowa i w ten sposób wykorzystać kwantowe nieoznaczoności świata do przeprowadzenia operacji będących poza zasięgiem możliwości wyidealizowanej maszyny Turinga. Skoro świat jest u podstaw układem kwantowym, jakakolwiek próba wyjaśnienia jego wewnętrznego funkcjonowania w języku paradygmatu rachunkowego musi opierać się na rzetelnym rozumieniu, czym jest w istocie rachunek kwantowy i co może on osiągnąć ponad to, co może konwencjonalna maszyna Turinga."

* * *
Po tym przyczynku dokumentacyjnym pora podjąć pytanie o status epistemologiczny poglądu, że pewne rozumowania, mianowicie te, które mają charakter intuicyjny (jak wnioskowanie prowadzące do zdania gödlowskiego), nie są wykonalne dla maszyny Turinga, a to z tej racji, że odpowiadające im procesy mózgowe należą do procesów fizycznych charakteryzowanych przez liczby nieobliczalne. Gdy mowa o intuicji, czy to w rozumowaniach czy w przeżyciach religii lub sztuki, pewni autorzy są skłonni uznać ją za coś będącego całkowicie poza sferą ujęć liczbowych. Warto jednak mieć taką strategię, żeby szukać liczb w realnym świecie tak długo, jak tylko to możliwe, a zaprzestać dopiero wtedy, gdyby daremność takich prób została udowodniona (w co można wątpić, skoro pojęcie dowodu zakłada funkcję konsekwencji, a więc obiekt matematyczny).
Nie stoi jednak za tą strategią jakaś hipoteza dająca się wprost testować empirycznie. Stosowne tu będzie określenie ,,hipoteza metafizyczna''. Może ono zabrzmieć dla pewnych uszu zgrzytliwie, bo metafizycy w swym poczuciu pewności siebie powiadają, że nie zmyślają hipotez; ci zaś, dla których termin ,,hipoteza'' brzmi raczej zaszczytnie nie zawsze będą skłonni świadczyć ten zaszczyt metafizyce.
Nie miejsce tutaj, żeby polemizować z jednymi lub drugimi, toteż poprzestanę na przywołaniu znanej frazy Poppera (1974) ,,metaphysical research programme" i na konstatacji, że tym, co się znajduje u podstaw takich programów są hipotezy metafizyczne. Popper jako przykład tego rodzaju hipotezy wymienia założenie ewolucjonizmu; ono samo nie jest empirycznie obalalne, ale dzięki niemu powstają sprawdzalne teorie empiryczne (brak tego założenia metafizycznego stał się powodem słynnej pomyłki Einsteina, gdy tak zmodyfikował ogólną teorię względności, żeby nie dopuszczała kosmicznej ewolucji). Doskonałym też przykładem jest starożytny atomizm z jego mechanicyzmem, a więc hipoteza metafizyczna, która na trzy stulecia stała się przewodnikiem dla nowożytnej nauki.
Nasza hipoteza da się zlokalizować wśród nurtów filozoficznych: dobrze się ona mieści w pewnym zmodernizowanym nurcie pitagorejsko-platońskim, jak i w metafizyce Leibniza. Zdeklarowanych rzeczników takiego platonizmu można znaleźć wśród fizyków teoretyków, jak Werner Heisenberg (1973), Carl Friedrich von Weizsäcker (1981), a ostatnio Roger Penrose. Trzeba tu też zaliczyć Davida Bohma (1957, 1980) z uczniami (zob. Pytkkänen 1992) ze względu na ich ideę aktywnej informacji jako czynnika kształtującego świat fizyczny (opozycja tej grupy względem Heisenberga nie narusza podobieństwa w rozważanym tu aspekcie platonizmu). Także ze względu na upatrywanie w informacji kluczowego czynnika kosmicznego mają w sobie coś z platonizmu tacy głośni ostatnio autorzy jak John D. Barrow czy Frank J. Tipler (1996; por. też Stonier 1990). Gdyby zaś charakteryzować naszą hipotezę nie tylko przez opozycję do komputacjonizmu, ale też przez jakieś najdalej idące jej przeciwieństwo, to trzeba wskazać na konkretyzm Tadeusza Kotarbińskiego, a więc pogląd, wedle którego informacja jest czymś, czego po prostu nie ma (są tylko poinformowane bryły).
Nie znaczy to, że wymienieni platonicy współcześni zajmują jakieś akceptujące stanowisko względem hipotezy o liczbach nieobliczalnych przyporządkowanych rozumowaniom intuicyjnym (w tym względzie obecny autor rości sobie prawo do oryginalności). Da się ona jednak zmieścić w reprezentowanym przez tych autorów paradygmacie platońskim. Takie umiejscowienie powinno pomóc w krytycznej dyskusji nad proponowaną tu pod rozwagę hipotezą: że jak rozumowania mechanizowalne mają reprezentację w liczbach naturalnych, tak rozumowania intuicyjne mają reprezentację w liczbach nieobliczalnych.
Czy jest to hipoteza zdolna mieć konsekwencje empiryczne i technologiczne? Tak, gdyż przemawia ona na przeciw takiemu prowadzeniu badań nad sztuczną inteligencją, że byłyby one bez reszty skoncentrowane na aspekcie algorytmicznym. Wynika z niej potrzeba dopełnienia tego nurtu algorytmicznego przez taki, który by wykorzystywał istniejące w organizmach (jak postuluje ta hipoteza) moce obliczeniowe przekraczające "barierę Turinga". Rozwijanie obu tych nurtów, algorytmicznego i organicznego, w celu dokonania następnie ich syntezy najlepiej rokuje dla stworzenia przez człowieka potężnej inteligencji -- podnoszącej jego własną inteligencję do poziomu, który by przekroczył nasze wszystkie dotychczasowe wyobrażenia.
Konkretniejsze sugestie w tym kierunku podaje Kaku (1994), powołując się na pomysły Freemana Dysona (uzyskane w bezpośredniej rozmowie) oraz na idee Barrowa i Tipplera (1986/1996). Jest to projekt zaludnienia kosmosu inteligentnymi sondami, typu samoreprodukujących się automatów von Neumanna, uzyskanymi w wyniku połączonych wysiłków informatyki i inżynierii genetycznej. Ta druga, wraz z neurobiologią, musiałaby zadbać o to, żeby potencjał poznawczy tych naszych emisariuszy w kosmosie zdolny był przekroczyć barierę Turinga, a więc obejmował także siłę rozumowań intuicyjnych.
Bibliografia

[Barrow 1991] -- J.D. Barrow, Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation. Oxford Univ. Press, New York 1991. [Wersja polska:] Teorie wszystkiego. W poszukiwaniu ostatecznego wyjaśnienia. Przekład: J. Czerniawski, T. Placek. Znak, Kraków 1995.
[Barrow, Tipler 1996] -- J.D. Barrow and F.J. Tipler, The Anthropic Cosmological Principle. Oxford Univ. Press, Oxford - New York 1996 (1-sze wyd. 1986).
[Bohm 1957] -- D. Bohm, Causality and Chance in Modern Physics. Foreworded by Louis de Broglie. Routledge and Kegan Paul, London 1957.
[Bohm 1980] -- D. Bohm, Wholeness and the Implicate Order. Routledge and Kegan Paul, London 1980.
[Cantor 1890] -- G. Cantor, Über eine elementare Frage der Mannnigfaltigskeitslehre. Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1 (1890/91), 207-246, 282-356.
[Church 1936a] -- A. Church, An unsolvable problem of elementary number theory. Am.J.Math. 58 (1936), 345-363.
[Church 1936b] -- A. Church, A note on the Entscheidungsproblem. J. of Symbolic Logic 1 (1936), 40-41, 101-102.
[Couturat (ed) 1903] -- L. Couturat (ed), Opuscules et fragments inedits de Leibniz. Paris 1903.

[Davis (ed) 1993] -- M. Davis (ed), Solvability, Provability, Definability. The Collected Works of Emil L. Post. Birkhäser, Boston etc. 1993.

[Eccles 1992] -- Wywiad Johna Ecclesa dla Match, z 1 czerwca 1992 na temat jego książki Evolution de cerveau et création de la conscience.

[Feferman 1988] -- S. Feferman, Turing in the land of (O)z. In [Herken (ed) 1988].
[Frege 1879] -- G. Frege, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachbildete Formelsprache des reinen Denkens. L. Nebert, Halle 1879.
[Frege 1880] -- G. Frege, Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift. Unpublished text dated 1880/1881, included in [Kreiser (ed) 1973].
[Frege 1883] -- G. Frege, Über den Zweck der Begriffsschrift. 2. Sitzung an 27. Januar 1882. Sitzungsberichte der Jenaische Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft für das Jahr 1882, 16, Supplement, 1-10. Gustav Fischer, Jena 1883.

[Gödel 1930] -- K. Gödel, Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Monatshefte für Mathematik und Physik 37 (1930), 349-360.

[Gödel 1931] -- K. Gödel, Über formal unentscheibare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme -- I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (1931), 173-198.

[Gödel 1936] -- K. Gödel, Über die Länge der Beweisen. Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, Heft 7 [papers read in 1934-35], Franz Deuticke, Leipzig und Wien 1936.

[Gentzen 1934] -- G. Gentzen, Untersuchungen über das logische Schliessen, Mathematische Zeitschrift 39 (1934), 176-210, 405-431.

[Grzegorczyk 1957] -- A. Grzegorczyk, Zagadnienia rozstrzygalności. PWN, Warszawa 1957.

[Heisenberg 1973] -- W. Heisenberg, Der Teil und das Ganze. Gespräche im Umkreise der Atomphysik. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1973.

[Herken (ed) 1988] -- R. Herken (ed), The Universal Turing Machine. A Half-Century Survey. Oxford Univ. Press, Oxford 1988.

[Hilbert 1900] -- D. Hilbert, Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongress zu Paris 1900. Archiv der Mathematik und Physik, 3rd series, 1 (1901), 41-63, 213-237.

[HA-1928] -- D. Hilbert und W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik. Julius Springer, Berlin 1928. English version Principles of Mathematical Logic. Chelsea, New York 1950, ed. by R. E. Luce, is based on 2nd German edition, 1938.
[Kaku 1994] -- M. Kaku, Hyperspace. A Scientific Odyssey through Parallel Universes, Time Wraps and the Tenth Dimension. Oxford Univ. Press, New York 1994.
[Kneale 1962] -- W. Kneale and M. Kneale, The Development of Logic. Clarendon Press, Oxford 1962.
[Kreiser (ed) 1973] -- L. Kreiser (ed), Gottlob Frege: Schriften zur Logik. Aus dem Nachlass. Akademie-Verlag, Berlin 1973.
[Leibniz] -- see [Couturat 1903].
[Łukasiewicz 1936] -- J. Łukasiewicz, Logistyka a filozofia. Przegląd Filozoficzny 39 (1936), 115-131.
[Marciszewski, Murawski 1995] -- W. Marciszewski and R. Murawski, Mechanization of Reasoning in a Historical Perspective. Editions Rodopi, Amsterdam 1995.
[Marciszewski 1998] -- W. Marciszewski, Sztuczna Inteligencja. Znak, Kraków 1998.
[McCulloch, Pitts 1943] -- W. S. McCulloch and W. Pitts, A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity. B. Math. Biophy. 5 (1943), 115-133.

[MEL] -- W.Marciszewski (red.), Mała encyklopedia logiki, wyd.2, Ossolineum, Wrocław etc. 1988 (wyd.1 w 1970).

[Mostowski 1948] -- A. Mostowski, Logika matematyczna. Monografie Matematyczne, Wrocław 1948.

[Murawski 1994] -- R. Murawski, Hilbert's Program: Incompleteness theorems vs. partial realizations. In [Woleński (ed) 1994].

[Penrose 1989] -- R. Penrose, The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics. Oxford Univ. Press, Oxford etc. 1989.

[Penrose 1994] -- R. Penrose, Shadows of the Mind. Oxford University Press, New York 1994.

[Penrose 1997] -- R. Penrose, The Large, the Small and the Human Mind. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1997.

[Penrose 1996] -- R. Penrose, Beyond the doubting of a shadow: A reply to commentaries on Shadows of the Mind. Psyche 2 (23), January 1996.
http://psyche.cs.monash.edu.au/v2/psyche-2-23-penrose.html
[Popper 1974] -- K. Popper, Unended Quest. An Intellectual Autobiography. In: P.A. Schilpp (ed), The Philosophy of Karl Popper in The Library of Living Philosophers. Open Court Publishing, Illinois 1974.
[Post 1936] -- E. L. Post, Finite combinatory process - Formulation I. J. of Symbolic Logic 1 (1936), 103-105. Reprinted in [Davis (ed) 1994].

[Post 1994] -- E. L. Post, Absolutely unsolvable problems and relatively undecidable propositions - account of an anticipation. In [Davis (ed) 1994].

[Pytkkänen 1992] -- P. Pytkkänen, Mind, Matter and Active Information. The Relevance of David Bohm's Interpretation of Quantum Theory to Cognitive Science. Reports from the Department of Philosophy, University of Helsinki, Helsinki 1992.
[Principia] -- A.N. Whitehead and B. Russell, Principia Mathematica. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1913.
[Skolem 1928] -- Über die Mathematische Logik, Norsk Matematisk Tidsskrift, 10 (1928), 125-142. Przekład ang. w [van Heijenoort (ed.) 1967].

[Stonier 1990] -- T. Stonier, Information and the Internal Structure of Universe. An Exploration into Information Physics. Springer-Verlag, London etc. 1990.

[Tarski 1933] -- A. Tarski, The concept of truth in formalized languages. In [Tarski 1956], 152-278. Oryginał polski 1933.

[Tarski 1936] -- A. Tarski, On the concept of logical consequence. In [Tarski 1956], 152-278. Oryginał polski 1936.

[Tarski 1956] -- A. Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, Clarendon Press, Oxford 1956.

[Tipler 1994] -- F. J. Tipler, The Physics of Immortality. Anchor Books, New York etc. 1994.

[Turing 1936] -- A. Turing, On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Proc. of the London Math. Society, Series 2, 42 (1936), 230-265.

[Turing 1939] -- A. Turing, Systems of logic based on ordinals. Proc. of the London Math. Society, Series 2, 45 (1939), 161-228.

[Turing 1948] -- A. Turing, Intelligent machinery: Raport, National Physics Laboratory. In: B. Meltzer and D. Michie (eds), Machine Intelligence, 5, Edinburgh Univ. Press, Edinburgh 1969. Also in [Turing 1992].

[Turing 1950] -- A. Turing, Computing machinery and intelligence. Mind 59 (1950), 433-460.

[Turing 1992] -- Collected Works of A.M. Turing. Volume Mechanical Intelligence. ed. by D.C. Ince. North-Holland, Amsterdam etc. 1992.

[van Heijenoort (ed) 1967] -- J. van Heijenoort (ed), From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press, Cambridge (Mass.) etc. 1967.

[von Neumann 1958] -- J. von Neumann, The Computer and the Brain, Yale Univ. Press, New Haven 1958.

[von Weizsäcker 1981] -- C.F. von Weizsäcker, Ein Blick auf Platon. Reclam, Stuttgart 1981.

[Wiles 1995] -- A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, Annals of Mathematics 142 (1955), 443-551.
[Wittgenstein 1922] -- L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus. Routledge and Kegan Paul, London 1922.

[Woleński (ed) 1994] -- J. Woleński (ed), Philosophical Logic in Poland. Synthese Library. Kluwer, Dordrecht etc. 1994.

Do początku strony