Jak czytamy w kontekście zdania z "Monadologii", nieskończoność owego przewyższania na tym polega, że żywe ciała składają się z części, te znowu z części i tak bez końca, mamy tu więc podzielność w nieskończoność, o której mówi aksjomat czwarty w "Demonstratio"; podzielność zaś np. zegarka kończy się na takich częściach, jak trybiki. Tak otrzymujemy istotne wyjaśnienie, co znaczy w aksjomacie 4 "divisibile in infinitum". Nie chodzi tu o części takiego kontinuum, jak czas czy przestrzeń, gdzie wszystkie odcinki czy punkty są jakościowo jednorodne, ale o takie części jak w maszynie, gdzie każda pełni sobie tylko właściwą funkcję, a z tym się wiąże właściwa tylko jej struktura. W tym względzie maszyna ludzka jest modelem boskiej, tym natomiast co je różni, jest nieskończona w tej drugiej złożoność struktury.

Ów fakt, że ciała organiczne uważa Leibniz za automaty, czyli układy programowalne, wyświetla kwestię, na czym polega aktywizacja świata przez Stwórcę, czyli nadawanie mu ruchu, o czym mowa w "Demonstratio ex motu". Nie chodzi o wywoływanie zmian przez jakieś impulsy energetyczne (jak pchnięcie kijem kuli bilardowej) lecz przez akty myśli (jak namysł bilardzisty), ponieważ automat, by się ruszać w sensie wykonywania czynności, wymaga programu, a ten jest produktem myślowym.

Jeśliby powyższa interpretacja zdała się wykraczająca poza tekst "Monadologii", mamy dla niej przekonujące poparcie w lakonicznym cytacie 2: gdy Bóg oblicza, staje się świat. Wystarczy więc do stawania się świata, czyli do uruchomienia nieskończonego zestawu automatów, operacja myślowa odpowiednio potężnego umysłu. A jak ma się rachowanie do programowania? Klucz do odpowiedzi daje cytat 1. Istota automatu, to nic innego, jak jej program. To oczywiste. Ale Leibniz wpadł na pomysł o wiele mniej w jego czasach oczywisty, wyrażalny w równościach (mówiąc dokładniej, są to zawierania, ale znak "=" jest bardziej sugestywny).

Utożsamienie programów z liczbami dziś nas nie dziwi. Należy ono do istoty informatyki, jak to wiemy ze studium Alana Turinga o liczbach nieobliczalnych (1936/37), gdzie programy maszyny cyfrowej koduje się w liczbach naturalnych. Jest to adaptacja pewnej metody Kurta Gödla stosowanej przezeń w badaniach nad arytmetyką, ale dopiero jej powiązanie z konstrukcją maszyny cyfrowej przez Turinga weszło do kanonu informatyki. A gdy to odniesiemy - jak Leibniz - do "automatów boskich", wchodzi też do kanonu metafizyki.

Maksyma z punktu 2 wskazuje przez użyte w niej pojęcia na intelektualną, a dokładniej, matematyczną naturę aktu stwórczego, a ponadto ma nadto wiele do powiedzenia zastosowana w niej gramatyka. Nie jest to forma czasu przeszłego, jak w tym pierwszym zdaniu Biblii: "Na początku stworzył Bóg niebo i ziemię". Poprzednik i następnik są u Leibniza w czasie teraźniejszym, co znaczy ze akt stwarzania dokonuje się wciąż, i dzieje się to wciąż za sprawą mocy obliczeniowej umysłu nieskończonego. W takie ramy dobrze się wpisuje idea ewolucji wszechświata, choć w czasach Leibniza była to jeszcze myśl poza wszelkim osiągalnym wtedy horyzontem (dopiero w wiek później ludzie Oświecenia dostrzegli istnienie ewolucji społecznej, po stu latach Darwin odkrył ewolucję przyrody żywej, a prawie następnych stu lat było trzeba, żeby Hubble i Einstein uświadomili nam fenomen ewolucji kosmicznej).

Tym nie mniej, ów czas teraźniejszy w maksymie Leibniza, nawet jeśli nie jest przejawem prekursorstwa, jest okolicznością, która pozwala artykułować jego wizje w kategoriach ewolucji wszechświata. Bo jeśli Stwórca wciąż oblicza, czyli produkuje nowe programy, a zarazem znamy tę myśl Leibniza, że Bóg programuje najlepszy z możliwych światów, to narzuca się wniosek, że realizacja kolejnych programów (czyli poruszanie świata w sensie "Demonstratio") czyni świat coraz doskonalszym. Harmonizuje on z tym, co określa się dziś jako zasadę antropiczną, mianowicie z myślą, że wszechświat jest jakby nastrojony (zaprogramowany) na wyprodukowanie swego najdoskonalszego elementu, jakim jest mózg ludzki: najbardziej złożony obiekt we wszechświecie i zarazem obdarzony największą w przyrodzie mocą obliczeniową.

§3. Leibnizjański model wszechświata w ujęciu informatycznym. Łącząc trzy analizowane wyżej tezy z założeniami w "Demonstratio", otrzymujemy zrąb pewnego uniwersalnego modelu wszechświata, obejmującego przyrodę i świat umysłu. Zbierzmy, co o modelu tym wiemy z tekstów dotąd rozważanych.

Świat organiczny jest (1) złożony nieskończenie (2) złożonością strukturalną; (3) jest to struktura właściwa automatom, (4) z których każdy się dzieli na automaty składowe, (5) a każdy z tych elementów działa według właściwego sobie programu, (6) dającego się zakodować liczbowo.

Żeby uczynić te własności zrozumialszymi, porównajmy model Leibniza z pewnymi współczesnymi pomysłami na temat struktury rzeczywistości. Nie trudno znaleźć w literaturze akceptację dla poszczególnych własności. Wybitny matematyk Stanisław Ulam, zasłużony dla informatyki jako współtwórca (z Johnem von Neumanem) teorii automatów komórkowych, tak sobie wyobraża świat obdarzony własnościami 1 i 2.

Według mnie pierwszym pytaniem fizyki -- choć, oczywiście, nie można tego uznać za precyzyjnie sformułowany problem -- jest to, czy istnieje prawdziwa nieskończoność struktur o coraz mniejszych i mniejszych rozmiarach. [...] Istnieje też możliwość, że w rzeczywistości mamy do czynienia z dziwaczną strukturą o nieskończenie wielu poziomach, a każdy z nich ma inną naturę. Jest to nie tylko zagadka filozoficzna, ale i fascynująca, coraz bardziej fizyczna wizja. Ostatnie eksperymenty wykazują narastające skomplikowanie struktur. [...] Być może osiągnęliśmy punkt, gdzie lepiej byłoby rozważyć następstwo struktur ad infinitum. -- Stanisław Ulam, "Przygody Matematyka", Prószyński i S-ka, Warszawa 1966, przekład Agnieszki Górnickiej, s.324n. Oryginał: "Adventures of a Mathematician", University of California 1991.

To, co w książce Ulama było luźnym pomysłem, stało się rozbudowaną teorią należącą do problematyki kwantów w wersji wypracowanej przez głośnego fizyka Davida Bohma. Z teorii tak wyrafinowanej nie da się rzetelnie zdać sprawy w kilku akapitach streszczenia czy kilku cytatach. Można jedynie odnotować, jako motywację do dalszych badań, pewne impresje dotyczące np. co do podobieństwa miedzy Bohma pojęciem aktywnej informacji jako siły poruszającej elementy mikroświata oraz Leibniza pojęciem ruchu jako wzbudzanego przez proces obliczania. Oto relacja z tego poglądu Bohma.

In his view, subatomic particles such as electrons are not simple, structureless particles, but highly complex, dynamic entities. He rejects the view that their motion is fundamentally uncertain or ambiguous; they follow a precise path, but one which is determined not only by conventional physical forces but also by a more subtle force which he calls the quantum potential. The quantum potential guides the motion of particles by providing "active information" about the whole environment. Bohm gives the analogy of a ship being guided by radar signals: the radar carries information from all around and guides the ship by giving form to the movement produced by the much greater but unformed power of its engines.

Co się tyczy punktów 3-6 z modelu Leibniza, to liczne do nich analogie, na różne sposoby rozwijane w szczegółach, znajdziemy w licznym kręgu fizyków głoszących poglądy na strukturę wszechświata na wskroś przeniknięte myśleniem informatycznym. Temat to tak rozległy, że pozostaje tylko zasygnalizować jego żywotność i odesłać do bogatej literatury. Do najbardziej w tym nurcie aktywnych i oryginalnych należy Ed Fredkin radykalny rzecznik tego sposobu myślenia, który można nazwać światopoglądem informatycznym; w pomysłach Fredkina, odwołujących się do idei (Ulama i von Neumanna) automatów komórkowych, znajdujemy inspirujące analogie z leibnizjańską wizją wszechświata jako gigantycznej sieci automatów o nieskończonej złożoności (z tą jednak różnicą, że w świecie Fredkina nie ma podzielności w nieskończoność).

W podobnym duchu rozwijają światopogląd informatyczny inni głośni fizyko-informatycy (powstała już taka odmiana uczonych): np. Konrad Zuze, Jürgen Schmidhuber, Ed Fredkin, Stephen Wolfram, David Deutsch, Frank Tippler, John Wheeler, Freeman Dyson; nie podaję odsyłaczy, bo do każdego z tych nazwisk doprowadzi Google, a ich plejadę można znaleźć min. pod hasłem digital physics. Należy jednak wyróżnić w tej grupie przynajmniej jedną postać - Konrada Zuse jako pioniera tego nurtu myśli, który zinicjował on artykułem "Rechnender Raum" (1967).

Dwóch autorów umieszczonych na końcu powyższego wyliczenia omawiam w szkicu "It from bit?". Ten zwrot ukuł Wheeler dla oddania swej myśli, że praźródłem rzeczywistości (it) jest informacja (bit); mogłaby to być z powodzeniem także maksyma Leibniza.

§4. Moc obliczeniowa umysłu a moce zbiorów nieskończonych. To zestawienie pojęć (choć brzmi trochę jak gra słów) oddaje poważną kwestię, z którą musi się uporać, kto przyjmuje model świata infinitystyczny. Np. taki jak u Leibniza: że każde ciało jest podzielne w nieskończoność, wobec czego wzbudzanie w nim jakiegokolwiek procesu zmian wymagałoby umysłu o nieskończonej mocy obliczeniowej.

Nie mają tego problemu ci wizjonerzy procesów kosmicznych, którzy sądzą jak Ed Fredkin, że wszechświat nie jest ciągły lecz dyskretny, zawiera skończoną liczbę elementów (cząstek elementarnych), i ma cyfrową naturę automatu komórkowego; stąd nazwa tego rodzaju poglądów: digital physics. Inaczej natomiast ma się sprawa z leibnizjańską wizją wszechświata, który byłby nieskończony na sposób nieskończonej podzielności składających się nań struktur, oraz wymagałby aktywności jakiegoś umysłu nieskończonego, by zostać należycie zorganizowanym co do swej struktury i dynamiki.

Umysł taki stałby przed problemem problemem co najmniej tak złożonym, jak zabawa w układankę (puzzle) z nieskończoną liczbą elementów. Czy miałby on do czynienia ze zbiorem nieskończonym o mocy przeliczalnej czy mocy kontinuum? Co do liczności zbioru elementów, nasuwa się odpowiedź, że byłby on przeliczalny, jak liczba węzłów w nieskończonym drzewie. Zważmy jednak, że wykonawca układanki musi brać pod uwagę nie tylko poszczególne elementy, lecz także ich relacje do innych elementów, tego bowiem wymaga ich dopasowywanie. Operuje on więc nie tylko wyobrażeniami elementów, lecz także wyobrażeniami ich zbiorów. Wymaga to odpowiedniej pojemności pamięci operacyjnej, większej niż ta, której trzeba do ogarnięcia samych elementów. O ile większej?

W przypadku leibnizjańskiej monadololgii odpowiedź będzie zależna od tego, jak pojmie się stosunek odzwierciedlania, w oryginale reflexio, między indywiduami czyli (w języku Leibniza) monadami. Jest to pojęcie dalekie od jasności i budzące kontrowersje wśród leibnizologów, ale nie sposób go nie uwzględniać, próbując wyjaśnić naturę nieskończonej mocy obliczeniowej umysłu Stwórcy.

Posługując się metaforą programu zainspirowaną przez Nicholasa Reschera (jeden z najwybitniejszych badaczy Leibniza), odwzorowanie przez każdą monadę całego uniwersum monad można pojąć w ten sposób, że każda z nich ma swe wszystkie własności i cały swój los zaprogramowane od początku świata przez Stwórcę, a jednocześnie ma w sobie zakodowane programy wszystkich innych monad. To byłoby jedno z możliwych wyjaśnień tezy Leibniza, że każda monada odzwierciedla w sobie wszystkie inne; byłoby w tym pewne podobieństwo do uniwersalnej maszyny Turinga, z tą różnicą, że u Turinga uniwersalność jest tylko potencjalna (maszyna jest zdolna przyjąć program dowolnej innej), podczas gdy w świecie monadologicznym byłaby aktualna.

Powstaje teraz pytanie (na które u Leibniza nie znajdziemy odpowiedzi, co stworzy wiązkę możliwych interpretacji), czy istnieją ponadto programy koordynujące zachowania monad; można to sobie w jakimś przybliżeniu wyobrazić na sposób algorytmów mrówkowych (ant algorithms) kordynuujących współdziałania poszczególnych mrówek w ramach planu działania całej kolonii (tego rodzaju badania rozrosły się już w pokaźny dział informatyki). I tak np. przy trzech monadach A, B i C, istniałby plan (program) koordynacyjny dla poszczegónych par (A z B itd.) oraz plan koordynujący działania każdej monady z parą pozostałych, a więc (w tym zbiorze) z całą resztą. Liczba takich koordynacji rosłaby szybko w miarę powiększania się zbioru monad, dając coraz więcej podzbiorów. Na pytanie, ile byłoby takich podzbiorów w zależności od liczby monad w danym uniwersum, odpowiada aksjomat potęgowy Cantora: gdy jakieś uniwersum ma N elementów, to liczba podzbiorów tego uniwersum wynosi dwa do N-tej potęgi.

Idąc tym tropem, dochodzimy do wniosku, że jeśli uniwersum monad ma moc nieskończoną przeliczalną, to zbiór jego podzbiorów (równoliczny z klasą planów koordynacyjnych) musi mieć moc kontinuum, to jest, dwa do potęgi aleph zero. Takiego więc zbioru dotyczyłby rachunek, o którym mówi maksyma Cum Deus calculat, fit mundus). Jest rzeczą naturalną mierzyć moc obliczeniową umysłu liczbą operacji, jakie jest on zdolny wykonać w określonym czasie. Jeśli ustanowienie jednego planu koordynacyjnego uznać za jedną operację, to umysł Stwórcy takiego świata, który ma moc przeliczalną, musiałby mieć moc odpowiednio wyższą, mianowicie kontinuum.

Jeśli wybierzemy przyjętą wyżej ścieżkę interpretacji i w wyniku dojdziemy to takiego rozumienia terminu "virtus infinita" w pierwszej i trzeciej definicji w "Demonstratio" (zob. §2), że jest to moc obliczeniowa typu kontinuum, to przyjdzie zmierzyć się z kolei z innymi problemami natury interpretacyjnej. Pierwszy, jeszcze nie najtrudniejszy, jest ten, że ani Leibniz ani nikt z jego współczesnych nie tylko, że nie odróżniał różnych typów nieskończoności (jak przeliczalna, kontinuum etc.), ale nie mógł mieć w tej materii najmniejszego nawet przeczucia. Dopiero rozwój matematyki w 19 wieku doprowadził u Dedekinda i Cantora do takiej definicji zbioru nieskończonego, która stała się min. podstawą do odróżnienia mocy przeliczalnej od mocy kontinuum.

Tę trudność da się pokonać wyobraźnią, jeśli sobie przedstawić, że Leibniz wybrał się wehikułem czasu w przyszłość i wylądowawszy w naszych czasach błyskawicznie się zapoznał z teorią mnogości. Poważniejsza trudność jest w tym, że zapoznawszy się z tą teorią nie zamierzałby jej podzielać, był bowiem zdecydowanie przeciwny poglądowi o istnieniu liczb nieskończonych. Tak o tym pisał w jednym z listów.

"Concedo multitudinem innitam, sed haec multitudo non facit numerum seu unum totum; nec aliud signicat, quam plures esse terminos, quam numero designari possint, prorsus quemadmodum datur multitudino seu complexus omnium numerorum; sed haec multitudo non est numerus, nec unum totum." -- List do Joh. Bernoulli, 21 luty, 1699 w: Leibniz [1849-1863], III/2, s.575.

W wolnym tłumaczeniu: "Zgoda, że istnieje jakaś nieskończona mnogość, lecz nie stanowi ona ani liczby ani jednej całości. Znaczy tylko tyle, że istnieje więcej elementów niż dałoby się określić jakąkolwiek liczbą, podobnie jak istnieje zbiór mnogość wszystkich liczb, ale nie jest to ani liczba ani jedna całość."

Miał po temu swoje powody, mianowicie wzgląd na aksjomat Euklidesa, że część nie może być większa od całości, od którego nie chciał odstąpić także w przypadku zbiorów nieskończonych, o czym piszę na innym miejscu (min. odczyt na Kongresie Leibnizjańskim w Berlinie 2001). W tej sytuacji istotne jest nie pytanie psychologiczne, czy w swym alternatywnym życiorysie, (kontynuowanym imaginacyjnie w naszym stuleciu) Leibniz dałby sobie swój 17-wieczny pogląd wyperswadować, ale pytanie natury logicznej: czy rezygnacja z tamtej odmowy nie naruszyłaby przez swe konsekwencje istoty jego systemu zawartej w "Monadologii"?

Odpowiedź jest dwuczęściowa. Po pierwsze, trzeba zauważyć że system "Monadologii" nie poniósłby z tego powodu szkody logicznej. Argument Leibniza bowiem nie rozróżnia dwóch sensów zwrotu "być większym niż", a jeśli to rozróżnienie uwzględnić, zarzuty się rozproszą bez szkody dla całokształtu systemu. Po drugie, jeśli pominąć rzeczone obiekcje z pism Leibniza, okaże się, że "Monadologię" można połączyć z Cantorowską teorią mnogości. Ukazało się na temat tego związku kilka gruntownych studiów, np. M. van Attena "Monads and sets [...]", a setki innych prac poruszają tę sprawę w kontekście zagadnień pokrewnych.

W takim razie, abstrahując od psychologicznych oporów autora "Monadologii", respektując natomiast relacje logiczne między systemem Leibniza i teorią Cantora, jesteśmy w stanie zastosować teorię mnogości do postawienia kwestii, jaki typ nieskończoności powinien być atrybutem nieskończonej mocy stwórczej, o której mowa w "Demonstratio".