strona główna Cafe Aleph

Czemu Aleph?

Witold Marciszewski

Rysunek obok to pierwsza litera alfabetu hebrajskiego, czytana z łacińska "aleph" (po polsku "alef"), której odpowiednikiem jest w grece "alpha" (oba znaki wywodzą się z pisma fenickiego). Jej karierę w matematyce zainicjował matematyczny geniusz Georga Cantora (1845-1918). Wiele można się o jej treści dowiedzieć z Wikipedii, tu zaś wystarczy wspomnieć dwa fakty, znaczące dla naszej kawiarni; przypomnieć nie zawadzi, choć jeden z nich powinien być znany z licealnego kursu matematyki, a drugi nawet z przedszkola.

1. Fakt "przedszkolny": zbiór palców u rąk, nazwijmy go R, jest (u statystycznego przedszkolaka) równoliczny ze zbiorem palców u nóg - N. To znaczy: każdemu elementowi z R jest przyporządkowany dokładnie jeden element z N, i odwrotnie.

2. Fakt "licealny": Gdy zbiór Z ma n elementów, to zbiór jego podzbiorów, zwany potęgowym, ma tych podzbiorów 2n. Operujemy w matematyce (choć może nie w języku potocznym) tak uogólnionym pojęciem zbioru, że obejmujemy nim również zbiory jednoelementowe oraz pusty; brany pod uwagę w danym rozważaniu zbiór Z jest także własnym podzbiorem.

Np. niech Z składa się z matki (m), ojca (o) i dziecka (d). Podzbiorami Z-ta są wtedy następujące zbiory oznaczane klamrami):

0 (zbiór pusty), {o}, {m}, {d}, {o,m}, {m,d}, {o,d}, {m,o,d}.

I tak doliczymy się ośmiu podzbiorów zbioru trzyelementowego czyli 23.

Jak widać, podzbiorów Z-ta jest więcej (i to pokaźnie więcej) niż jego elementów. Wraz z tym spostrzeżeniem jesteśmy już blisko idei alepha. Udowodnił bowiem Cantor, że owo twierdzenie o tak wielkiej ilościowej przewadze liczby podzbiorów nad liczbą elementów odnosi się także do zbiorów nieskończonych. A z tego wynika zdumiewający wniosek, że mamy nieskończenie wiele coraz to liczniejszych nieskończoności.

Żeby oddać to przejrzyście, trzeba nam symboli na ich oznaczanie. Za Cantorem przyjmujemy symbolikę, w której kolejne coraz to liczniejsze nieskończoności oznaczane są literą aleph z kolejnym subskryptami branymi ze zbioru liczb naturalnych 0, 1, ..., n, ...

I tak, najmniejszy zbiór nieskończony, liczb naturalnych (tj. całkowitych dodatnich) oznaczamy przez 0, jego zbiór potęgowy to 1, nad tym zaś góruje licznością jego własny zbiór potęgowy 2, i tak dalej, po nieskończoność.

Tak więc symbol bez subskryptu (symbolu w dolnej frakcji) oznacza dowolny zbiór nieskończony, a subskryptem oznaczamy jego pozycję w owej nieskończonej drabinie zbiorów niekończonych. Dla licznych rozważań w domenie calculemus.org, a więc i dla dyskujji czy pogwarek w Cafe pod Alephem, fundamentalne znaczenie ma następujaca równość zwana hipotezą kontinuum:

20 = 1 = zbiór liczb rzeczywistych.

W codziennym życiu matematyki i nauk najściślej z nią powiązanych, do których należy filozofia, funkcjonują dwa alefy: zero (moc zbioru liczb całkowitych, a także ułamkowych) oraz jeden (moc zbioru liczb rzeczywistych). Wyższe są przedmiotem wyrafinowanych dociekań specjalistów od teorii mnogości. Te dwa wyjściowe otwierają nową epokę w dociekaniach filozoficznych i związanych z nimi światopoglądach.

Filozofowie wszelkich orientacji, już od greckiego zarania, czuli się za pan brat z niekończonością. Zenon mówił o nieskończonej podzielności materii, a rozwinęli tę myśl filozofowie jońscy; Arystoteles i inni przyjmowali nieskończone trwanie świata, atomiści nieskończoną przestrzeń, nieskończony czas i nieskończenie wiele atomów; filozofowie chrześcijańscy wielbili na wszelkie sposoby nieskończoność Boga, a heretyk Giordano Bruno -- nieskończoność Wszechświata; Kartezjusz się zdumiewał nad pochodzeniem idei nieskończoności w ludzkim umyśle, a Leibniz miał śmiałe wizje wszechświata wypełnionego nieskończoną ilością indywiduów, oraz nieskończonej ilości wszechswiatów możliwych. I tak dalej.

Po odkryciu nieskończonej drabiny nieskończoności filozofowie mają żywot ciekawszy, rokujący więcej zrozumień, ale i trudniejszy niż dotąd. Mogą teraz dokładniej arykułować swe problemy, na przykład: czy przestrzeń i czas, cechują się nieskończonością kontinuum, czyli ciągłością, jak się powszechnie uważa, czy może mają naturę dyskretną, a więc co najwyżej moc aleph zero, jak sądzą niektórzy komentatorzy teorii kwantów? Z drugiej jednak strony, adepci filozofii nie unikną pytań, jaką mają na myśli nieskończoność, gdy posługują się tym pojęciem. Łatwo np. zakłopotać teologów, gdy ich zapytać: jaki rodzaj nieskończoności cechuje Boga? Wprawdzie sam Cantor miał na to oryginalną i dającą do myślenia odpowiedź, ale trudno spotkać filozofa czy teologa, który by o tym słyszał, a cóż dopiero żeby miał do tej propozycji przemyślany stosunek.

Tak więc, sama nazwa naszego miejsca podpowiada doniosły i ekscytujący temat do rozmów. A z nim wiążą się inne tematy, doniosłe tak dla filozofii, jak i dla infomatyki, która swe kluczowe pojęcia algorytmu i obliczalności definiuje przez odniesienia do alephów. Więcej na ten temat w eseju "Czy umysł jest liczbą?"

Witold Marciszewski

Zaktualizowane 15 grudnia 2011.