Witold Marciszewski

Kolęda o maszynie cyfrowej

Lubię kolędę Mędrcy świata monarchowie. Może dlatego, że połączenie tych dwóch dostojeństw, władzy i mądrości, bardziej mi przemawia do wyobraźni niż urok pastuszej prostoty, o którym traktuje większość kolęd. Pomyślalem więc sobie, że na kanwie tej melodii można umieścić przesłanie jakby współczesnych mędrców, do których niewątpliwie należą logiko-informatycy. Pozwoliłem sobie ich nazwać słowem bardziej dostojnym ,,logikowie'', zgodnym z formą ,,monarchowie'', która tak dźwięcznie brzmi w pierwowzorze.

Oto, wedle tej kolędy, trzy etapy wprowadzenia w logikę, a zarazem w wiedzę z podstaw maszyn cyfrowych.

Mędrcy świata, logikowie,
nie trza złota, srebra,
by zabłysła w każdej głowie
LOGIKI ALGEBRA.

Mędrcy świata, logikowie,
cudne tworzym wzory,
by porządku strzegły w głowie
KWANTYFIKATORY.

Mędrcy świata, logikowie,
tak się morał wszczyna,
że nie wszystko sprawi w głowie
TURINGA MASZYNA.

W obecnym szkicu zajmę się tylko urokami algebry, które opiewa pierwsza zwrotka, a dwie dalsze dostarczą tematu do następnego szkicu.

Dlaczego maszyny cyfrowe gustują w algebrze

Słowo ,,algebra'' ma piękną historię. Ponad tysiąc lat temu urodził się w Chorezmie (w dzisiejszym Uzbekistanie) największy matematyk średniowiecza Alchwarizmi, co znaczy pochodzący z Chorezmu. Pisał po arabsku, a tytuł jego poczytnego dzieła zapowiadał, iż traktuje ono o rozwiązywaniu równań. Jeden z członów tego tytułu brzmiał ,,al-dżabr'', co przeszło w ,,algebra''. Samo zaś imię autora dało początek sławetnemu terminowi wyrażającemu dziś pojęcie algorytmu.

W tamtych zamierzchłych czasach, słowo ,,algebra'' oznaczało po prostu naukę o rachowaniu. Bardziej specyficznego sensu nabrało odkąd François Viéte (1540-1603) wprowadził symbole zmienne. Wtedy zaczęto odróżniać obliczenia arytmetyczne dokonywane na konkretnych liczbach (analytica numerosa) od obliczeń posługujących się formułami ze zmiennymi; a że symbol zmienny reprezentuje jakąś klasę (species) liczb, algebra przez jakiś czas nosiła miano ,,analytica speciosa''; miało to sympatyczną dwuznaczność, bo ,,speciosa'' znaczy w łacinie także piękna, a urok tego rachunku istotnie robił wrażenie na ówczesnych matematykach.

Algebra rozrastała się w wiekach 17 i 18, zaczęła też wchodzić w pierwsze związki z logiką (u Leibniza i in), ale przenieśmy się odrazu w wiek 19. Wtedy jej ewolucja weszła w fazę zapowiadającą wiek logiki matematycznej i komputerów. Po Arabach, Francuzach i Niemcach, tym razem bohaterami naszej historii są algebraicy brytyjscy, a szczególnie pewien Irlandczyk, którego nazwisko tkwi dzisiaj w samym rdzeniu informatyki. Każdy informatyk zna termin ,,Boolean'' odnoszący się do fundamentalnych operacji, a bierze się on od George Boole'a (1815-1864).

Boole konsekwentnie rozwinął myśl swych kolegów, iż algebra tym się różni od innych działów matematyki, że jest jakby o niczym (podczas gdy geometria jest o tworach przestrzennych, arytmetyka o liczbach itd). To znaczy, uprawia się ją w taki sposób, że jej symbolom zmiennym nie przypisuje się żadnej konkretnej dziedziny matematycznej, a dopiero w wyniku nadania im jakiejś interpretacji, a więc na etapie zastosowań algebry, nabierają one znaczenia.

Zauważmy, jak takie podejście dogadza komputerowi. On nie może tekstów rozumieć. Operuje tylko na dostarczonych mu łańcuchach znaków, przerabiając je na inne łańcuchy według otrzymanego zbioru instrukcji (programu).

Logicy 20-go wieku poszli tropem Boole'a jeszcze dalej, rozszerzając to skrajnie formalistyczne podejście na całą matematykę. Powiedzieli sobie tak. My wiemy, że arytmetyka jest o liczbach, geometria o punktach, liniach itd, ale udawajmy czasem, że tego nie wiemy, traktując te teorie jako czystą manipulację na symbolach, jak gdyby abstrakcyjną grę w rodzaju szachów.

W tym szaleństwie jest metoda, powiedziałby Szekspir. Metoda genialna, bo tylko dzięki niej można było dojść do zrozumienia ograniczeń języka czysto formalnego, pozbawionego jakichkolwiek znaczeń, podatnego wyłącznie na manipulacje na symbolach traktowanych jako obiekty fizyczne. A więc tych ograniczeń, którym podlegają komputery. Dzięki temu można postawić pytanie, czy podlegają im także umysły ludzkie; a jest to pytanie kluczowe w projekcie sztucznej inteligencji.

Pokrewieństwa między algebrą Boole'a, komputerem i umysłem

Termin ,,algebra'' pokrywa rozległą klasę systemów; mają one wszystkie tę neutralność znaczeniową charakterystyczną także dla systemów znakowych obrabianych przez komputer (gdy patrzeć na rzecz z jego ,,punktu widzenia'', bo człowiek odbierając wyniki od komputera nadaje im swoją interpretację). Pośród nich jest system, który otrzymał nazwę od nazwiska Boole'a.

Algebra Boole'a ma conajmniej dwa powiązania z maszyną cyfrową. Po pierwsze, okazało się, że dobrze ona opisuje sieci zarówno elektryczne jak nerwowe, co pozwoliło zobaczyć -- po raz pierwszy! - podobieństwo jednych do drugich. Jest ono owocnie eksploatowane w projektach SI, zwłaszcza w tym nurcie, który nazywa się konekcjonizmem (connection - połączenie).

Po drugie, istotną rolę w SI odgrywa mechanizacja rozumowań. Np. w systemach eksperckich równorzędnymi składnikami są reprezentacja wiedzy w odpowiedniej bazie danych i mechanizm logiczny pozwalający na wysnuwanie z tej wiedzy potrzebnych wniosków. Otóż podstawą dla mechanizacji rozumowań jest algebra Boole'a, ponieważ wśród jej interpretacji jest taka, która pozwala rozstrzygać, jak prawdziwość określonych struktur zdaniowych zależy od prawdziwości innych struktur.

Co może mieć wspólnego sieć elekryczna ze strukturami zdaniowymi? To nie jest trudno zobaczyć. Potraktujmy prawdziwość zdania jako odpowiednik impulsu w sieci (elektrycznego, nerwowego itp), a falszywość jako odpowiednik braku impulsu.

Wtedy, na przykład, operacja negowania (zdefiniowana w algebrze Boole'a) prowadzi od zdania prawdziwego do fałszywego i odwrotnie, a w sieci mamy urządzenie (zamykające i otwierające obwód), które pozwala od stanu przepływu impulsów przejść do jego braku i odwrotnie. Gdy podwójnie się zaneguje zdanie prawdziwe, dostaje się znowu zdanie prawdziwe (prawo podwójnej negacji), a gdy przy zapalonym świetle dwa razy naciśnie się włącznik, powróci się do stanu świecenia. Operacji na zdaniach zwanej koniunkcją lub iloczynem (uzyskiwanej przez ,,i'') odpowiada w sieciach połączenie szeregowe, a operacji alternatywy czyli sumy (,,lub'') - połączenie równoległe.

Takie układy są wykorzystywane w procesorach do obliczeń arytmetycznych, pozostańmy jednak na gruncie logiki. Dzięki algebraizacji rozumowań w algebrze Boole'a można je przeprowadzać w sposób rachunkowy i bez oglądania się na ich sens, biorąc pod uwagę jedynie związki między strukturami będącymi łańcuchami symboli. Tak zaprzęgamy komputer do rozumowań w pełni zmechanizowanych, a zarazem podatnych na usensownienie, gdy pod łańcuchy symboli otrzymane w komputerowym wydruku podłożymy odpowiednie znaczenia.

To zastosowanie czy, lepiej, interpretacja, algebry Boole'a nosi nazwę algebry logiki. Teraz już wiadomo, na czym polega życzenie, żeby rozbłysła ona w każdej głowie. Wprawdzie ona jest tam w jakiś sposób obecna już od urodzenia, skoro wedle jej praw są kształtowane obwody neuronowe. Ale nabycie jej na poziomie świadomego przyswojenia sobie praw logicznych, to jakby nowy rozbłysk algebry logiki, stąd ta gwiazdkowa metafora w naszej kolędzie.

Dokąd prowadzi dalej kolęda

Tematem drugiej zwrotki są kwantyfikatory. W języku potocznym są to zwroty mówiące o tym, jak wiele (łac. quantum) przemiotów ogarniamy wypowiedzią, w szczególności czy mówimy o wszystkich, czy o niektórych, czy o relacji wszystkich do niektórych (jak w piosence ,,everybody loves somebody'') itd. W logice odddaje się je za pomocą specjalnych symboli, które po dołączeniu do symboli z algebry zdań (odpowiedników ,,nie'', ,,i'', ,,lub'' ,,jeśli to'' itp) kolosalnie wzmacniają moc wnioskowania logicznego.

Więcej o sprawach kwantyfikatorów będzie w szkicu ,,Czy komputery pozbędą się ludzi?''; dostarczy on też komentarza do trzeciej zwrotki. Okaże się, jak czysta logika przydaje się w rozważaniu o szansach ekspansji komputerów. Czy spełni się katastroficzna wizja eksterminacji ludzkości przez superinteligentne maszyny? Zobaczymy, jak sama logika zakreśla granice, których nie przekroczy moc obliczeniowa maszyny cyfrowej (maszyny Turinga); nic zaś nie przemawia za podobnym ograniczeniem ludzkiego umysłu. Wywody przeto katastrofistów wypada zaliczyć do tej kategorii, którą scholastycy nazywali ,,argumentum ad ignorantiam''.

Gdy mamy jednak w argumentacji odwoływać się do wiedzy, okazuje się ona dość wyrafinowana. Wymaga dociekań psychologicznych posługujących się narzędziami logiki, które się ogniskują wokół pojęcia złożoności poznawczej. Mistrzem takiej analizy był wielki matematyk i konstruktor pierwszej maszyny arytmetycznej Blaise Pascal, Będzie zeń czerpał kolejny szkic pt. ,,Zmagania ze złożonością -- dwie strategie Pascala''. Bohaterem tych zmagań jest gatunek inteligencji zwany u Pascala ,,esprit de finesse'', w przejawach podobny do zjawisk emocjonalnych, stąd nazywany też przezeń sercem; da to sposobność do zapytania, czy mogą być jakieś sprawy sercowe u komputerów.

Tak od dziejów algebry, najprostszej z nauk, powędrujemy myślą - przez wyższego poziomu teorie logiczne - ku intrygującej złożoności świata i zmagającego się z nią umysłu.