LOGIKA WSPÓŁCZESNA CALCULEMUS

R O Z W I Ą Z A N I A


zadań z rozdziału trzeciego


1. ((p=>q)&-q) => -p [SD 249].
W cytowanym rozumowaniu pierwsza przesłanka ("p=>q") pokrywa się z pierwszym członem koniunkcji będącej w tej formule poprzednikiem, druga przesłanka pokrywa się z drugim członem tejże koniunkcji ("-q"), a wniosek pokrywa się z następnikiem ("-p"). Jest to rozumowanie następujące:
Jeśli (dany) petent będzie pracował, to będzie zarabiał.
Petent nie będzie zarabiał.
Zatem
Petent nie będzie pracował.

K o m e n t a r z.
Ten sposób rozumowania, znany w średniowieczu scholastykom, otrzymał od nich nazwę, która trafnie i z właściwą łacinie zwięzłością opisuje jego strukturę:
modus tollendo tollens. To znaczy:
sposób [modus]
przez przeczenie [tollendo]
prowadzący do przeczenia [tollens].

2. Od obu stron równości odejmuję 8, co daje: 2=1. Dołączam do tego przesłankę (niewątpliwie prawdziwą), że mój ojciec i ja to dwie różne osoby. A skoro 2=1, to każde dwie osoby są jedną osobą. A więc, jako osoba różna od mojego ojca, jestem moim ojcem.

Rozumowanie to jest ilustracją faktu, że z absurdu, jakim jest sprzeczność można wyprowadzić dowolny sąd, w tym dowolny absurd.

3. Rozumowanie zawiera przesłankę, że warunkiem koniecznym popełnienia danego przestępstwa jest fizyczna obecność w określonym czasie i miejscu; chodzi o miejsce, w którym zaszło przestępstwo. Warunek konieczny jest podawany w następniku zdania warunkowego, mamy więc zdanie: (A) Jeśli podejrzany dopuścił się zarzucanego mu czynu, to był wtedy w danym miejscu.

Posiadanie alibi (łac. gdzieindziej) oznacza możliwość przedstawienia dowodu, że się w danym miejscu i czasie nie było, a więc dowodu na zaprzeczenie następnika.
(B) Podejrzany nie był wtedy w danym miejscu.
A zatem:
(C) Podejrzany nie dopuścił się zarzucanego mu czynu.

Niżej, w przedstawieniu schematycznym rozumowania, skośna kreska odpowiada słowu "więc". Rozumowanie to przebiega wg schematu: p=>q, -q / -p którego niezawodność jest gwarantowana przez prawo logiki: ((p=>q)&-q) => -p (modus tollendo tollens, komentowany wyżej w 1).

Rozumowaniu z alibi można nadać jeszcze inną postać, mianowicie: Jeśli oskarżony ma alibi to jest niewinny; ma alibi. Jest więc niewinny. Prawem gwarantującym niezawodność rozumowania wg tego schematu jest ((p=>q)&p) => q. Jest to tzw. modus ponendo ponens, tj. sposób wnioskowania przez twierdzenie (p) do twierdzenia (q).

4.
4.1. W projekcie umowy strona A proponuje klauzule dotyczące konsekwencji, które poniesie strona B w przypadku jeśliby nie dotrzymała umowy. Na to przedstawiciel strony B protestuje. mówiąc (błędnie): Do umowy nie należy wprowadzać zdań fałszywych, a zdanie "Jeśli B nie dotrzymałby umowy, to nastąpi to a to" jest zdaniem fałszywym, ponieważ B napewno dotrzyma umowy.

4.2. Sędzia instruuje świadka: Jeśliby pan złożył fałszywe zeznanie, podlega pan karze więzienia do lat pięciu. Na co świadek oburza się (błędnie): Wysoki Sąd mnie obraża fałszywym posądzeniem; ja zawsze mówię prawdę.

4.3. W żarcie na temat aktywisty komunistycznego, który obowiązkowo musiał być ateistą, wkłada mu się w usta zdanie: Jeśli byłby Bóg, to nie daj Boże (tzn., Bóg rozprawiłby się z ateistami). Pewien słuchacz tego żartu komentuje (błędnie), że aktywista nie może uznawać owego zdania warunkowego, ponieważ jako ateista nie uznaje istnienia Boga.

W tego rodzaju wypowiedziach błąd polega na mniemaniu, że fałszywość poprzednika implikacji zawsze pociąga fałszywość całej tej implikacji. Stąd, w 4.1 osoba B odmawia uznania warunkowej klauzuli o konsekwencjach (jako wg niej fałszywej), a w 4.2 świadek uważa warunkową instrukcję sędziego za fałszywą (stąd obraza za rzekomą insynuację), gdyż nie zgadza się z jej poprzednikiem. W 4.3 komentator mylnie przypisuje ateiście niekonsekwencję; w istocie, nie ma sprzeczności między uznaniem jego warunkowego poglądu a odrzuceniem poprzednika w owym zdaniu warunkowym.

Nie jest tak, że fałszywość poprzednika w zdaniu warunkowym pociąga fałszywość całego tego zdania. W pewnych jednak przypadkach sposób sformułowania zdania warunkowego może pozwolić na domniemanie, że autor danej wypowiedzi akceptuje jej poprzednik. Wobec rozchwiania w tym względzie reguł gramatycznych polszczyzny i zanikaniu w niej pewnych subtelniejszych dystynkcji, nie jest łatwo o sformułowanie jednoznacznych reguł; sprawa ta dyskutowana jest szerzej w Aneksie Problemowym, pozycja 1.

5 i 6.
Idea postępowania mechanicznego z SD jest w definicji z obecnej książki (III.4.1) wyrażona w powiedzeniach, że "algorytm określa precyzyjnie na których mają być wykonywane działania" itd. Dokładne określenie obiektów i działań, np. w przepisie kulinarnym, zwalnia od angażowania intuicji czy inwencji i w tym sensie postępowanie staje się mechaniczne.

7.
(a) [1] Żeby wykazać, że implikacja -p => -(p=>q) nie jest prawem logiki (czyli nie jest tautologią), trzeba znaleźć takie podstawienia za zmienne p i q, żeby przy tych podstawieniach poprzednik był prawdziwy, a następnik fałszywy.

[2] Poprzednik -p jest prawdziwy, gdy p jest fałszywe.

[3] Następnik -(p=>q) jest fałszywy, gdy implikacja p=>q jest prawdziwa.

[4] Implikacja p=>q jest prawdziwa wtedy (m.in.), gdy jej poprzednik p jest prawdziwy.

Skoro prawdziwość p czyniąc prawdziwym poprzednik, czyni zarazem fałszywym następnik rozważanej implikacji, mamy tym samym podstawienie, przy którym ta implikacja okazuje się fałszywa.

(b) Przykłady zdań w trybie nierzeczywistym.

  • Głupi niedźwiedziu, gdybyś w mateczniku siedział, nigdyby się o tobie Wojski nie dowiedział.
  • Gdyby nie istniały gwiazdy produkujące ciężkie pierwiastki, nie zaistniałoby życie oparte na związkach węgla.
  • Gdyby nie istniało życie, nie byłoby ludzkiej inteligencji.
  • Gdyby nie było ludzkiej inteligencji, nie powstałaby "Boska Komedia" Dantego.

Do początku strony