Jerzy Mycka (UMCS)
Pojęcie efektywności w odniesieniu do Cantorowskiej i aksjomatycznej teorii mnogości

Abstrakt

Istotnym problemem związanym z badaniami podstaw matematyki jest analiza przejścia od Cantorowskiej wersji teorii mnogości do jej wersji aksjomatycznej. Wspomniana transformacja nie była bynajmniej niekontrowersyjna. Jednym z zasadniczych pytań związanych z tym zagadnieniem jest kwestia tożsamości pojęć zbioru używanych w obu wariantach teorii mnogości.

Wydaje się, że różnice pomiędzy tymi pojęciami są fundamentalne. Cantor zdawał się pojmować zbiór jak kolekcję, której elementy mogą być – w pewien sposób – wyliczone. Aksjomatyczna teoria mnogości potrzebowała aksjomatu wyboru, aby uzyskać własność „wyliczalności”. Przy tej okazji pojawia się pytanie o charakterystykę funkcji, które mają dokonywać wyliczania elementów zbiorów.

Powyższe obserwacje prowadzą do rozważenia dwóch pytań: jaka jest wzajemny priorytet pojęć funkcji i zbioru w obu omawianych wariantach teorii mnogości (które z nich jest bardziej pierwotne) oraz jakiego rodzaju efektywności oczekujemy od używanych funkcji.

Tego rodzaju zagadnienia w naturalny sposób przywołują na myśl analogiczne problemy teorii obliczalności. Zbiory rekurencyjnie przeliczalne zdają się w pewien sposób odpowiadać jakby „algorytmicznej” wersji teorii Cantora. W związku z tym pojawia się pytanie jakiego rodzaju efektywność wyliczenia zakładałyby wspomniane warianty teorii mnogości.

Odczyt będzie próbował wskazać różnice pomiędzy Cantorowskim (funkcyjno-dynamicznym) oraz aksjomatycznym (logiczno-statycznym) pojmowaniem zbioru oraz wychwycić w obrębie teorii obliczeń modele akcentujące zaznaczone różnice na fundamencie pojęć efektywnej przeliczalności i efektywnej rozstrzygalności.

Możliwość komentowania jest wyłączona.